1. Cada uma das seguintes equações determina um plano no R^3. Os dois planos se interceptam? Se for o caso, descreva a interseção.
x1+4 x2-5 x3 & =0 2 x1-x2+8 x3 & =9
  1. Descreva a solução geral de 10 x1-3 x2-2 x3=7 na forma vetorial paramétrica, e relacione o conjunto solução com o obtido no Exemplo 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Verificar se os planos
x1+4x2-5x3=0, 2x1-x2+8x3=9
se interceptam e, em caso afirmativo, descrever geometricamente a interseção.
2) Encontrar a solução geral de
10x1-3x2-2x3=7
na forma vetorial paramétrica e relacionar esse conjunto de soluções com o conjunto de soluções do sistema homogêneo (Exemplo 2).
Conteúdo: resolução de sistemas lineares em R^3, descrição de reta (interseção de dois planos) e de plano afim (solução de uma equação).

Passo 2

Para o item 1 começamos isolando x1 na primeira equação:
x1 = -4x2 + 5x3
Substituímos esse valor de x1 na segunda equação:
2(-4x2+5x3) - x2 + 8x3 = 9 Longrightarrow -8x2 +10x3 - x2 +8x3 = 9 Longrightarrow -9x2 +18x3 = 9
Dividindo por 9:
-,x2 + 2x3 = 1 Longrightarrow x2 = 2x3 - 1

Passo 3

Introduzimos o parâmetro t = x3. Logo
x2 = 2t - 1, x1 = -4(2t-1) + 5t = -8t +4 +5t = -3t +4
Assim o conjunto de soluções do sistema (interseção dos dois planos) é a reta
L = l(x1,x2,x3) : (x1,x2,x3) = (4,-1,0) + t,(-3,2,1), tinRr

Passo 4

Portanto, os dois planos se interceptam e a interseção é a reta
L = (4,-1,0) + t(-3,2,1)mid tinR

Passo 5

Agora o item 2. Temos a equação
10x1-3x2-2x3=7
Escolhemos x2=s e x3=t como parâmetros livres. Então
x1 = 7 + 3s + 2t10

Passo 6

Escrevendo em forma vetorial paramétrica:
(x1,x2,x3) = l(710,0,0r) + sl(310,1,0r) + tl(210,0,1r) = l(710,0,0r) + sl(tfrac310,1,0r) + tl(tfrac15,0,1r)
O conjunto solução é um plano afim: é a soma de um ponto particular l(tfrac710,0,0r) com toda combinação linear dos vetores l(tfrac310,1,0r) e l(tfrac15,0,1r).
No Exemplo 2 temos exatamente o subespaço das soluções do caso homogêneo
10x1-3x2-2x3=0,
que é o plano gerado pelos mesmos vetores l(tfrac310,1,0r) e l(tfrac15,0,1r). Logo o conjunto de soluções de 10x1-3x2-2x3=7 é esse plano homogêneo transladado pelo vetor particular l(tfrac710,0,0r).

Resposta

  1. Sim, a interseção é a reta
L = (4,-1,0) + t(-3,2,1)mid tinR
  1. A solução geral é
(x1,x2,x3) = l(tfrac710,0,0r) + sl(tfrac310,1,0r) + tl(tfrac15,0,1r), s,tinR,
que é um plano afim paralelo ao plano de soluções do sistema homogêneo do Exemplo 2.

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