Cada uma das seguintes equações determina um plano no . Os dois planos se interceptam? Se for o caso, descreva a interseção.
Descreva a solução geral de na forma vetorial paramétrica, e relacione o conjunto solução com o obtido no Exemplo 2.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Verificar se os planos
se interceptam e, em caso afirmativo, descrever geometricamente a interseção.
2) Encontrar a solução geral de
10x1-3x2-2x3=7
na forma vetorial paramétrica e relacionar esse conjunto de soluções com o conjunto de soluções do sistema homogêneo (Exemplo 2).
Conteúdo: resolução de sistemas lineares em R^3, descrição de reta (interseção de dois planos) e de plano afim (solução de uma equação).
Passo 2
Para o item 1 começamos isolando x1 na primeira equação:
O conjunto solução é um plano afim: é a soma de um ponto particular l(tfrac710,0,0r) com toda combinação linear dos vetores l(tfrac310,1,0r) e l(tfrac15,0,1r).
No Exemplo 2 temos exatamente o subespaço das soluções do caso homogêneo
10x1-3x2-2x3=0,
que é o plano gerado pelos mesmos vetores l(tfrac310,1,0r) e l(tfrac15,0,1r). Logo o conjunto de soluções de 10x1-3x2-2x3=7 é esse plano homogêneo transladado pelo vetor particular l(tfrac710,0,0r).