1. Tomando vetores quaisquer, u=(u1, ldots, un) e v=(v1, ldots, vn) no R^n e calculando
u+v & =(u1+v1, ldots, un+vn) & & Definição de soma de vetores & =(v1+u1, ldots, vn+un) & & Comutatividade da soma em R & =v+u & & Definição de soma de vetores çãçã
  1. O vetor y pertence a Spanv1, v2, v3 se e somente se existem escalares x1, x2, x3 tais que
x1[r 1 -1 -2 ]+x2[r 5 -4 -7 ]+x3[r -3 1 0 ]=[r -4 3 h ]
Essa equação vetorial é equivalente a um sistema linear de três equações e três incógnitas. Escalonando a matriz completa para esse sistema, encontramos
[rrrr 1 & 5 & -3 & -4 -1 & -4 & 1 & 3 -2 & -7 & 0 & h ] sim[rrrc 1 & 5 & -3 & -4 0 & 1 & -2 & -1 0 & 3 & -6 & h-8 ] sim[rrrc 1 & 5 & -3 & -4 0 & 1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & h-5 ]
Esse sistema é possível se e somente se não existe pivô na quarta coluna. Isto é, h-5 precisa ser igual a 0. Portanto, y pertence a Spanv1, v2, v3 se e somente se h=5.
Lembre-se: A presença de uma variável livre num sistema não garante que o sistema seja possível.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  1. Provar que a soma em é comutativa, ou seja, para vetores quaisquer mostrar .
  2. Determinar para quais valores de o vetor
pertence a com
, , .
Conteúdos principais: propriedades da soma de vetores e teste de pertencimento a um subespaço via combinação linear e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Para provar comutatividade basta usar a definição de soma componente a componente e a comutatividade em R. Dados
u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn),
temos
u+v =(u1+v1,dots,un+vn) =(v1+u1,dots,vn+un) =v+u,
onde em cada componente usamos que ui+vi=vi+ui em R.

Passo 3

Para ver quando

precisamos achar escalares tais que
Isto gera o sistema linear

Passo 4

Escalonando a matriz aumentada:
[rrr|r 1&5&-3&-4 0&1&-2&-1 0&0&0&h-5 ]
Para o sistema ser compatível não pode surgir equação do tipo 0= h-5 com h-5neq0. Logo exigimos h-5=0, isto é, h=5.

Resposta

(1) A soma em é comutativa.
(2) se e somente se .

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