O vetor pertence a se e somente se existem escalares tais que
Essa equação vetorial é equivalente a um sistema linear de três equações e três incógnitas. Escalonando a matriz completa para esse sistema, encontramos
Esse sistema é possível se e somente se não existe pivô na quarta coluna. Isto é, h-5 precisa ser igual a 0. Portanto, y pertence a Spanv1, v2, v3 se e somente se h=5.
Lembre-se: A presença de uma variável livre num sistema não garante que o sistema seja possível.
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
Provar que a soma em é comutativa, ou seja, para vetores quaisquer mostrar .
Determinar para quais valores de o vetor
pertence a com , , .
Conteúdos principais: propriedades da soma de vetores e teste de pertencimento a um subespaço via combinação linear e escalonamento de matrizes.
Passo 2
Para provar comutatividade basta usar a definição de soma componente a componente e a comutatividade em R. Dados u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn),
temos
u+v =(u1+v1,dots,un+vn) =(v1+u1,dots,vn+un) =v+u,
onde em cada componente usamos que ui+vi=vi+ui em R.
Passo 3
Para ver quando
precisamos achar escalares tais que
Isto gera o sistema linear
Passo 4
Escalonando a matriz aumentada:
[rrr|r 1&5&-3&-4 0&1&-2&-1 0&0&0&h-5 ]
Para o sistema ser compatível não pode surgir equação do tipo 0= h-5 com h-5neq0. Logo exigimos h-5=0, isto é, h=5.