Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determinar a ordem e dizer se é uma EDO, uma EDP, linear ou não-linear.
(cos x)(y^prime prime)^2+(sin x)(y^prime)^4=1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma equação diferencial e descobrir três coisas: qual é a ordem dela, se é uma EDO (Equação Diferencial Ordinária) ou EDP (Equação Diferencial Parcial), e se é linear ou não-linear. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e tipos de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na nossa equação:
(cos x)(y'')^2 + (sin x)(y')^4 = 1
Temos y'' que é a segunda derivada de y em relação a x , e y' que é a primeira derivada. A maior derivada aqui é a segunda derivada, então a ordem da equação é 2.

Passo 3

Agora, vamos ver se é uma EDO ou uma EDP. EDO significa que a equação envolve derivadas de uma única variável independente, geralmente x . Já EDP envolve derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
Na nossa equação, só temos derivadas em relação a x , ou seja, y' e y'' . Portanto, essa é uma EDO (Equação Diferencial Ordinária).

Passo 4

Por último, vamos determinar se a equação é linear ou não-linear. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as potências das derivadas de y sejam 1, e as derivadas não estão multiplicadas entre si.
Olhando novamente para a nossa equação:
(cos x)(y'')^2 + (sin x)(y')^4 = 1
Vemos que y'' está ao quadrado e y' também está elevado a uma potência maior que 1. Além disso, as derivadas estão sendo multiplicadas por funções de x . Isso torna a equação não-linear.

Resposta

  • Ordem: 2
  • Tipo: EDO (Equação Diferencial Ordinária)
  • Linearidade: Não-linear

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