(Valor 1,5 pontos) Faça um esboço do gráfico da função f(x)=-3 x+31+x.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=-3x+31+x
O conteúdo envolve esboço de função racional: encontraremos domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos, comportamento nos extremos e monotonicidade para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio e as assíntotas.
O denominador anula em x=-1, então
Dom(f)=Rsetminus-1
Em seguida fazemos a divisão do numerador pelo denominador:
-3x+3x+1=-3+6x+1
Dessa forma aparece uma assíntota vertical em
x=-1
e uma assíntota horizontal em
y=-3

Passo 3

Agora calculamos os interceptos:
Para x=0:
f(0)=31=3,
logo há intercepto em (0,3).
Para f(x)=0 basta -3x+3=0, logo x=1, intercepto em (1,0).

Passo 4

Analisamos os limites que definem o comportamento junto às assíntotas e nos extremos:
limxto -1^-f(x)=-infty, limxto -1^+f(x)=+infty,
limxto -inftyf(x)=-3, limxto +inftyf(x)=-3
Isso mostra que há dois ramos separados pela reta x=-1.

Passo 5

Verificamos a monotonicidade pelo sinal de
f'(x)=-6(x+1)^2<0forall xneq -1
Portanto cada ramo é estritamente decrescente em seu intervalo de definição.

Passo 6

Caracterizando os ramos:
Para x<-1, o ramo começa em yto -3 (quando xto -infty), passa por exemplo em (-2,-9) e cai para -infty quando xto -1^-.
Para x>-1, o ramo sai de +infty em xto -1^+, atravessa (0,3) e (1,0) e se aproxima de y=-3 por cima quando xto +infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=tfrac-3x+31+x apresenta:
Assíntota vertical em x=-1.
Assíntota horizontal em y=-3.
Interceptos em (0,3) e (1,0).
Ramo para x<-1: decrescente de -3 (quando xto -infty) a -infty (quando xto -1^-).
Ramo para x>-1: decrescente de +infty (quando xto -1^+) a -3 (quando xto +infty).

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