(Valor 1,5 pontos) Faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
O conteúdo envolve esboço de função racional: encontraremos domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos, comportamento nos extremos e monotonicidade para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro achamos o domínio e as assíntotas.
O denominador anula em , então
O denominador anula em
Em seguida fazemos a divisão do numerador pelo denominador:
Dessa forma aparece uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
Passo 3
Agora calculamos os interceptos:
Para :
Para
logo há intercepto em
.
Para basta
, logo
, intercepto em
.
Para
Passo 4
Analisamos os limites que definem o comportamento junto às assíntotas e nos extremos:
Isso mostra que há dois ramos separados pela reta
.
Passo 5
Verificamos a monotonicidade pelo sinal de
Portanto cada ramo é estritamente decrescente em seu intervalo de definição.
Passo 6
Caracterizando os ramos:
Para , o ramo começa em
(quando
), passa por exemplo em
e cai para
quando
.
Para , o ramo sai de
em
, atravessa
e
e se aproxima de
por cima quando
.
Para
Para
Resposta
O gráfico de
apresenta:
Assíntota vertical em .
Assíntota horizontal em .
Interceptos em e
.
Ramo para : decrescente de
(quando
) a
(quando
).
Ramo para : decrescente de
(quando
) a
(quando
).
Assíntota vertical em
Assíntota horizontal em
Interceptos em
Ramo para
Ramo para