Dada a função f(x)=csen 3(x-1)3^x-12-1, x neq 1 3, x=1
A) (Valor 2 pontos)
lim x 1 f(x)
B) (Valor 0,5 ponto) A função f é contínua em x=1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= sinl(3(x-1)r)3^x-12-1,&xneq1, 3,&x=1,
e pede (A) o valor de limxto1f(x) e (B) se f é contínua em x=1. Vamos usar limites de funções trigonométricas e exponenciais para resolver.

Passo 2

Para xneq1 escrevemos o denominador de forma mais clara:
3^x-12-1 =3^-1cdot3^x-12 =13,3^x-12
Logo, para xneq1,
f(x) =sinl(3(x-1)r)tfrac13,3^x-12 =3;sinl(3(x-1)r)3^x-12

Passo 3

Ao fazer xto1 definimos h=x-1to0. Temos
sinl(3hr)to0 e
3^h2to3^0=1.
Portanto,
limxto1f(x) =3;limhto0sin(3h)3^h2 =3;01 =0

Passo 4

A continuidade em x=1 exige que
limxto1f(x)=f(1).
Aqui limxto1f(x)=0 difere de f(1)=3. Logo f não é contínua em x=1.

Resposta

A) 0
B) Não. A função não é contínua em x=1 porque
limxto1f(x)=0neq f(1)=3.

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