(Valor 2 pontos) Calcule
lim x 1 1-raizxraiz[3]x-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto11-raizxraiz[3]x-1
Estamos diante de uma forma indeterminada tfrac00, então vamos usar uma manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de aplicar o limite.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por 1+raizx para eliminar a raiz quadrada no numerador:
1-raizxraiz[3]x-1;times;1+raizx1+raizx =(1-raizx)(1+raizx)(raiz[3]x-1)(1+raizx) =1-x(raiz[3]x-1)(1+raizx)

Passo 3

Reconhecemos que raiz[3]x-1 é uma diferença de cubos. Usamos
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
com a=raiz[3]x e b=1, daí
raiz[3]x-1=x-1(raiz[3]x)^2+raiz[3]xcdot1+1 =x-1x^2/3+x^1/3+1
Substituindo em cima:
1-x(raiz[3]x-1)(1+raizx) =1-xdfracx-1x^2/3+x^1/3+1;(1+raizx) ;=;-x^2/3+x^1/3+11+raizx

Passo 4

A expressão ficou sem indeterminação:
1-raizxraiz[3]x-1 =-x^2/3+x^1/3+11+raizx
Agora basta substituir x=1 na forma simplificada.

Passo 5

Substituindo x=1:
-1^2/3+1^1/3+11+raiz1 =-1+1+11+1 =-32

Resposta

boxed-32

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