Em cada uma das seguintes equações diferenciais, determinar a ordem e dizer se é uma EDO, uma EDP, linear ou não-linear.
a^2 partial^2 upartial u^2=partial^2 upartial t^2,,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar a ordem da equação diferencial, dizer se ela é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) ou uma Equação Diferencial Parcial (EDP), e também se ela é linear ou não-linear. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre o que são EDOs e EDPs, além de saber o que significa uma equação ser linear.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
a^2 partial^2 upartial u^2 = partial^2 upartial t^2
Aqui, vemos derivadas parciais, indicadas pelo símbolo ∂. As derivadas parciais são usadas quando a função depende de mais de uma variável independente. No caso, temos derivadas em relação a u e t .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a ordem da equação. A ordem é determinada pela derivada de maior ordem presente na equação. Nessa equação, temos derivadas de segunda ordem (as derivadas com expoente 2). Portanto, a ordem da equação é 2.

Passo 4

Em seguida, precisamos decidir se a equação é uma EDO ou uma EDP. As EDOs envolvem derivadas em relação a apenas uma variável independente, enquanto as EDPs envolvem derivadas em relação a múltiplas variáveis independentes. Como aqui temos derivadas parciais em relação a u e t , a equação é uma Equação Diferencial Parcial (EDP).

Passo 5

Por último, vamos verificar se a equação é linear ou não-linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem multiplicação entre elas ou funções não-lineares aplicadas a elas). Na nossa equação:
a^2 partial^2 upartial u^2 = partial^2 upartial t^2,
todas as instâncias de u e suas derivadas estão multiplicadas apenas por constantes e não há termos como u^2 ou u partial upartial t . Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação tem ordem 2, é uma Equação Diferencial Parcial (EDP) e é linear.

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