Resolva as equações diferenciais:
y^prime-4x y=x^5 e^x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação diferencial
y' - 4x,y = x^5 e^x
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
O que a gente vai precisar:
  1. Colocar no formato padrão y' + p(x),y = q(x).
  2. Encontrar o fator integrante mu(x).
  3. Multiplicar a equação por mu(x) pra virar a derivada de mu(x),y.
  4. Integrar, usando também integração por partes quando pintar integral x e^x dx.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções p(x) e q(x) no formato
y' + p(x),y = q(x)
Nossa equação é
y' - 4x,y = x^5 e^x,
logo
p(x) = -4x, q(x) = x^5 e^x

Passo 3

Agora, o fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -4x,dx = e^-4ln|x| = x^-4 (assumindo x>0)
Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-4, temos
x^-4y' - 4x,x^-4y = x^-4,x^5 e^x ;Longrightarrow; x^-4y' - 4x^-5y = x e^x
O truque é notar que o lado esquerdo é justamente a derivada
ddxl(x^-4yr) = x^-4y' - 4x^-5y

Passo 4

Então a equação vira
ddxl(x^-4yr) = x e^x
Integramos dos dois lados:
x^-4y = integral x e^x,dx + C
Para integral x e^x dx usamos integração por partes:
  • Seja u = x, dv = e^x dx.
  • Então du = dx, v = e^x.
    Fica
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x = (x-1)e^x
Logo
x^-4y = (x-1)e^x + C Longrightarrow y = x^4l((x-1)e^x + Cr)

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy(x) = x^4,(x-1)e^x + C,x^4

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