Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série converge ou não usando três métodos diferentes: o Teste da Série Alternada, o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Para isso, vamos precisar entender como cada um desses testes funciona e aplicá-los passo a passo à série em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste é útil quando a série tem termos que alternam sinais, como é o caso aqui por causa do .
Para aplicar esse teste, precisamos verificar três coisas:
Os termos são positivos? Sim, porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo .
Os termos estão diminuindo? Vamos analisar:
À medida que aumenta, o numerador cresce linearmente (), enquanto o denominador cresce mais lentamente (). Então, na verdade está aumentando.
O limite de quando tende ao infinito é zero? Vamos calcular:
Como o limite não é zero e os termos não estão diminuindo, o Teste da Série Alternada não confirma a convergência da série.
Passo 3
Agora, vamos ao Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite de quando limn to infty n+2n+1 cdot raizn+1raizn+1+1 approx limn to infty 1 cdot 1 = 1 tende ao infinito.
Vamos calcular:
Simplificando:
Como o limite é igual a 1, o Teste da Razão não é conclusivo. Ou seja, não nos diz se a série converge ou diverge.
Passo 4
Vamos finalizar com o Teste da Raiz. Nesse teste, calculamos o limite de limn to infty raiz[n]n+1raizn+1 = limn to infty (n+1)^1/n(raizn+1)^1/n quando limn to infty (n+1)^1/n(raizn+1)^1/n = 11 = 1 tende ao infinito.
Calculando:
Sabemos que , então:
Assim, o limite é 1, e o Teste da Raiz também não é conclusivo.
Resposta
Através dos testes aplicados, verificamos que a série não atende aos critérios necessários para convergência pelo Teste da Série Alternada e os Outros Testes (Razão e Raiz) foram inconclusivos. Além disso, o limite dos termos não tende a zero. Portanto, a série diverge.