Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=2+y,

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2 + y
e pede dois objetivos: desenhar o campo de direções e determinar como y(t) se comporta quando t to +infty. O conteúdo é análise qualitativa de soluções de equações diferenciais autônomas e resolução da equação linear.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções notamos que a inclinação em cada ponto (t,y) é
m = y+2
Como isso não depende de t, as linhas de inclinação constante (isoclinas) são retas horizontais y = c, para as quais todos os vetores têm mesma inclinação c+2. Em particular:
  • Em y=-2 temos m=0, vetores horizontais.
  • Para y>-2 a inclinação é positiva e cresce com y.
  • Para y<-2 a inclinação é negativa e decresce à medida que y fica menor.

Passo 3

A reta y=-2 é solução constante (ponto de equilíbrio) porque ali y'=0. No campo de direções, todas as setas sobre essa linha são horizontais, indicando que, se y=-2, ela permanece y(t)=-2 para todo t.

Passo 4

Para entender todas as soluções, resolvemos a equação linear:
y' - y = 2
O fator integrante é e^-t, então
ddtl(e^-tyr) = 2e^-t
Integrando,
e^-ty = -2e^-t + C Longrightarrow y = Ce^t - 2

Passo 5

A análise de y(t)=Ce^t-2 quando tto+infty dá três casos:
  • Se C>0, então Ce^tto+infty e y(t)to+infty.
  • Se C=0, y(t)equiv -2, fica na reta de equilíbrio.
  • Se C<0, então Ce^tto -infty e y(t)to -infty.

Resposta

O campo de direções consiste em vetores horizontais em y=-2, inclinados para cima se y>-2 e para baixo se y<-2. As soluções gerais são
y(t)=Ce^t-2,
de modo que, para tto+infty:
  • ,y(t)to+infty se C>0,
  • y(t)equiv -2 se C=0,
  • ,y(t)to-infty se C<0.

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