Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede dois objetivos: desenhar o campo de direções e determinar como
se comporta quando
. O conteúdo é análise qualitativa de soluções de equações diferenciais autônomas e resolução da equação linear.
Passo 2
Para desenhar o campo de direções notamos que a inclinação em cada ponto
é
Como isso não depende de
, as linhas de inclinação constante (isoclinas) são retas horizontais
, para as quais todos os vetores têm mesma inclinação
. Em particular:
- Em
temos , vetores horizontais. - Para
a inclinação é positiva e cresce com . - Para
a inclinação é negativa e decresce à medida que fica menor.
Passo 3
A reta
é solução constante (ponto de equilíbrio) porque ali
. No campo de direções, todas as setas sobre essa linha são horizontais, indicando que, se
, ela permanece
para todo
.
Passo 4
Para entender todas as soluções, resolvemos a equação linear:
O fator integrante é
, então
Integrando,
Passo 5
A análise de
quando
dá três casos:
- Se
, então e . - Se
, , fica na reta de equilíbrio. - Se
, então e .
Resposta
O campo de direções consiste em vetores horizontais em
, inclinados para cima se
e para baixo se
. As soluções gerais são
de modo que, para
:
-
se , -
se , -
se .