Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^+infty 2^2 k3^3 k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se converge a série
sumk=0^+infty2^2k3^3k
e, em caso afirmativo, achar sua soma. O conteúdo que vamos usar é a noção de série geométrica e o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Começamos identificando o primeiro termo e a razão da série. O primeiro termo é para k=0 e vale
a0 = 2^2cdot03^3cdot0 = 1
A razão r é o quociente entre dois termos consecutivos:
r = ak+1ak = 2^2(k+1)/3^3(k+1)2^2k/3^3k = 2^23^3 = 427

Passo 3

Para a série geométrica sumk=0^inftya0,r^k ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos
r = 427,
e como l|tfrac427r|<1, concluímos que a série converge.

Passo 4

Quando uma série geométrica converge, sua soma é
sumk=0^inftya0,r^k = a01-r
Substituindo a0 = 1 e r = tfrac427, obtemos
sumk=0^infty2^2k3^3k = 11 - 427 = 12327 = 2723

Resposta

A série converge e sua soma é 2723.

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