3-Estabeleça a relação entre de<a e varepsilon conveniente para lim x 0(6x+2)=3, usando a definição de limite.

Passo 1

Resumo do que queremos e do que vamos usar
A questão pede para mostrar, pela definição varepsilon de<a, que
limxto06x+2=3
Ou seja, dado qualquer varepsilon>0, precisamos achar um de<a>0 em função de varepsilon tal que, sempre que 0<|x-0|<de<a, tenha-se
l|tfrac6x+2-3r|<varepsilon
Para isso vamos usar:
• A definição formal de limite varepsilon de<a.
• Manipulação de valores absolutos e frações.
• Uma escolha prática para controlar o denominador.

Passo 2

Definição formal de limite
Dizemos que limxto0f(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-0|<de<aLongrightarrow|f(x)-L|<varepsilon
Aqui f(x)=6x+2 e L=3, então queremos
0<|x|<de<aLongrightarrowl|tfrac6x+2-3r|<varepsilon

Passo 3

Simplificando a expressão de erro
Calculemos
l|tfrac6x+2-3r| =l|tfrac6-3(x+2)x+2r| =l|tfrac6-3x-6x+2r| =l|tfrac-3xx+2r| =3,|x||x+2|
Então queremos
3,|x||x+2|<varepsilon

Passo 4

Controlando o denominador
Para que tfrac3|x||x+2| seja fácil de dominar, vamos garantir que |x+2| não fique pequeno. Uma escolha comum é impor
de<a<=1
Assim, se |x|<de<a<=1, temos
|x+2|>=|2|-|x|>=2-1=1
Isso implica
3,|x||x+2|<=3,|x|

Passo 5

Ligando de<a a varepsilon
Para garantir 3,|x|<varepsilon, basta pedir
|x|<varepsilon3
Então escolhemos
de<a = min!l(1,;tfracvarepsilon3r)
Com isso, se 0<|x|<de<a, valem simultaneamente |x|<1 e |x|<varepsilon/3, daí
l|tfrac6x+2-3r|<=3|x|<varepsilon

Resposta

Uma escolha conveniente é
boxedde<a = min!l(1,;tfracvarepsilon3r),
pois assim 0<|x|<de<a garante l|tfrac6x+2-3r|<varepsilon,.

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