Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=2 y-1,

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2y - 1
e pede que a gente desenhe o campo de direções e determine o possível comportamento de y(t) quando t to +infty. O conteúdo envolvido é análise de pontos de equilíbrio, sinal de y' para esboçar o campo de direções e resolução de EDO linear para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto de equilíbrio resolvendo
2y - 1 = 0,
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y* = 12
Esse valor de y faz y'=0, então no campo de direções há segmentos horizontais em y=tfrac12. Se y>tfrac12, então 2y-1>0 e as setas apontam para cima. Se y<tfrac12, então 2y-1<0 e as setas apontam para baixo.

Passo 3

Para resolver a equação diferencial linear
y' - 2y = -1
usamos fator integrante. Calculamos
mu(t) = expl(-integral 2,dtr) = e^-2t
Multiplicando a EDO por mu(t) obtém-se
l(y,e^-2tr)' = -e^-2t
Integrando ambos os lados em t:
y,e^-2t = integral -e^-2t,dt = 12e^-2t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y, a solução geral fica
y(t) = 12 + C,e^2t
Agora analisamos o limite quando t to +infty:
  • Se C>0, então C,e^2tto +infty e y(t)to +infty.
  • Se C<0, então C,e^2tto -infty e y(t)to -infty.
  • Se C=0, obtemos y(t)=tfrac12, isto é, a solução de equilíbrio.

Passo 5

No esboço do campo de direções, em cada ponto (t,y) a inclinação é 2y-1. Vemos uma família de retas horizontais em y=tfrac12; acima dessa reta as setas sobem cada vez mais rápido; abaixo delas descem cada vez mais rápido. As soluções são curvas que se aproximam horizontalmente de y=tfrac12 apenas instantaneamente se C=0, caso contrário divergem exponencialmente para +infty ou -infty.

Resposta

A solução geral é
y(t) = 12 + C,e^2t
Para tto+infty:
  • Se C>0, y(t)to+infty.
  • Se C<0, y(t)to-infty.
  • Se C=0, y(t)=tfrac12 constante.

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