Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
,
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e pede que a gente desenhe o campo de direções e determine o possível comportamento de
quando
. O conteúdo envolvido é análise de pontos de equilíbrio, sinal de
para esboçar o campo de direções e resolução de EDO linear para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, encontramos o ponto de equilíbrio resolvendo
logo
Esse valor de
faz
, então no campo de direções há segmentos horizontais em
. Se
, então
e as setas apontam para cima. Se
, então
e as setas apontam para baixo.
Passo 3
Para resolver a equação diferencial linear
usamos fator integrante. Calculamos
Multiplicando a EDO por
obtém-se
Integrando ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolando
, a solução geral fica
Agora analisamos o limite quando
:
- Se
, então e . - Se
, então e . - Se
, obtemos , isto é, a solução de equilíbrio.
Passo 5
No esboço do campo de direções, em cada ponto
a inclinação é
. Vemos uma família de retas horizontais em
; acima dessa reta as setas sobem cada vez mais rápido; abaixo delas descem cada vez mais rápido. As soluções são curvas que se aproximam horizontalmente de
apenas instantaneamente se
, caso contrário divergem exponencialmente para
ou
.
Resposta
A solução geral é
Para
:
- Se
, . - Se
, . - Se
, constante.