Suponha que vocテェ esteja subindo uma montanha cuja forma テゥ dada pela equaテァテ」o
, onde
e
sテ」o medidos em metros e vocテェ estテ。 em um ponto com coordenadas
. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte.
(a) Se vocテェ andar exatamente para o Sul, comeテァarテ。 a subir ou a descer? A que taxa?
(b) Se vocテェ caminhar em direテァテ」o ao Noroeste, comeテァarテ。 a subir ou a descer? A que taxa?
(c) Em que direテァテ」o a inclinaテァテ」o テゥ maior? Qual テゥ a taxa de elevaテァテ」o nessa direテァテ」o? Qual テゥ o テ「ngulo que o inテュcio desse caminho faz em relaテァテ」o テ
f0
horizontal?
(a) Se vocテェ andar exatamente para o Sul, comeテァarテ。 a subir ou a descer? A que taxa?
(b) Se vocテェ caminhar em direテァテ」o ao Noroeste, comeテァarテ。 a subir ou a descer? A que taxa?
(c) Em que direテァテ」o a inclinaテァテ」o テゥ maior? Qual テゥ a taxa de elevaテァテ」o nessa direテァテ」o? Qual テゥ o テ「ngulo que o inテュcio desse caminho faz em relaテァテ」o テ
f0
horizontal?
Passo 1
O enunciado descreve o relevo de uma montanha por
e pergunta, no ponto
, como varia a altitude se nos movemos: (a) para o Sul; (b) para o Noroeste; (c) em que direção a subida é mais forte, qual a taxa e qual o ângulo que esse caminho faz com o plano horizontal.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro vamos achar o gradiente de
. As derivadas parciais são
No ponto
isto dá
Passo 3
(a) Para andar exatamente para o Sul trocamos
por
, isto é, o vetor horizontal é
que já é unitário. A derivada direcional vale
Como é positivo, você começa a subir, à razão de
metros de elevação para cada metro percorrido horizontalmente.
Passo 4
(b) Para caminhar ao Noroeste o vetor horizontal é na direção
, isto é
A derivada direcional é
Como é negativo, você desce à razão de aproximadamente
m por metro.
Passo 5
(c) A direção de subida mais íngreme é a do próprio gradiente
.
- Direção horizontal unitária de subida mais forte:
pois . Isso significa mover-se 0,6 m para o Oeste e 0,8 m para o Sul. - Taxa máxima de elevação:
- Ângulo
que esse caminho faz em relação ao plano horizontal:
Resposta
(a) Sobe, à razão de
m/m.
(b) Desce, à razão de aproximadamente m/m.
(c) A subida mais íngreme ocorre na direção do vetor (sudoeste), com taxa máxima
m/m, e forma ângulo de
com o plano horizontal.
(b) Desce, à razão de aproximadamente
(c) A subida mais íngreme ocorre na direção do vetor