Suponha que vocテェ esteja subindo uma montanha cuja forma テゥ dada pela equaテァテ」o z=1000-0,005 x^2-0,01 y^2, onde x, y e z sテ」o medidos em metros e vocテェ estテ。 em um ponto com coordenadas (60,40,966). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.
(a) Se vocテェ andar exatamente para o Sul, comeテァarテ。 a subir ou a descer? A que taxa?
(b) Se vocテェ caminhar em direテァテ」o ao Noroeste, comeテァarテ。 a subir ou a descer? A que taxa?
(c) Em que direテァテ」o a inclinaテァテ」o テゥ maior? Qual テゥ a taxa de elevaテァテ」o nessa direテァテ」o? Qual テゥ o テ「ngulo que o inテュcio desse caminho faz em relaテァテ」o テ
f0
horizontal?

Passo 1

O enunciado descreve o relevo de uma montanha por
z = 1000 - 0,005,x^2 - 0,01,y^2,
e pergunta, no ponto (60,40,966), como varia a altitude se nos movemos: (a) para o Sul; (b) para o Noroeste; (c) em que direção a subida é mais forte, qual a taxa e qual o ângulo que esse caminho faz com o plano horizontal.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro vamos achar o gradiente de z. As derivadas parciais são
zx(x,y) = -0,01,x, zy(x,y) = -0,02,y
No ponto (60,40) isto dá
nabla z(60,40) = l(zx(60,40),,zy(60,40)r) = (-0,01cdot60,,-0,02cdot40) = (-0,6,,-0,8)

Passo 3

(a) Para andar exatamente para o Sul trocamos y por y- s, isto é, o vetor horizontal é
u = (0,-1),
que já é unitário. A derivada direcional vale
Duz = nabla zcdot u = (-0,6)cdot0 + (-0,8)cdot(-1) = 0,8
Como é positivo, você começa a subir, à razão de 0,8 metros de elevação para cada metro percorrido horizontalmente.

Passo 4

(b) Para caminhar ao Noroeste o vetor horizontal é na direção -x,+y, isto é
v = (-1,1)raiz2
A derivada direcional é
Dvz = nabla zcdot v = (-0,6)-1raiz2 + (-0,8)1raiz2 = 0,6 - 0,8raiz2 = -0,2raiz2 approx -0,1414
Como é negativo, você desce à razão de aproximadamente 0,1414 m por metro.

Passo 5

(c) A direção de subida mais íngreme é a do próprio gradiente nabla z.
  • Direção horizontal unitária de subida mais forte: w = nabla z|nabla z| = (-0,6,-0,8)raiz(-0,6)^2+(-0,8)^2 = (-0,6,-0,8), pois |nabla z|=raiz0,6^2+0,8^2=1. Isso significa mover-se 0,6 m para o Oeste e 0,8 m para o Sul.
  • Taxa máxima de elevação: |nabla z| = 1l(m de subida por m de avançor) ç
  • Ângulo phi que esse caminho faz em relação ao plano horizontal: tanphi = |nabla z| = 1 Longrightarrow phi = 45^circ

Resposta

(a) Sobe, à razão de 0,8 m/m.
(b) Desce, à razão de aproximadamente 0,1414 m/m.
(c) A subida mais íngreme ocorre na direção do vetor lang<= -0,6,,-0,8rang<= (sudoeste), com taxa máxima 1 m/m, e forma ângulo de 45^circ com o plano horizontal.

Exercícios relacionados