Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^+infty(7^k+3^k5^k)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=0^+infty7^k+3^k5^k
O conteúdo envolvido é o teste de séries geométricas, que afirma que
sumk=0^inftyr^k
converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 2

Separe a série em duas geométricas:
sumk=0^infty7^k+3^k5^k =sumk=0^inftyl(tfrac75r)^k +sumk=0^inftyl(tfrac35r)^k
Para a primeira parte, a razão é r1=7/5 e lvert r1rvert=7/5>1, portanto
sumk=0^inftyl(tfrac75r)^k
diverge. Logo, mesmo que a segunda parte convergisse (pois 3/5<1), a soma total diverge.

Resposta

A série diverge.

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