Determine a derivada direcional da funテァテ」o no ponto dado na direテァテ」o do vetor v.
f(x, y, z)=raizx y z, (3,2,6), v=lang<= 5,1,-2rang<=

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=raizx y z no ponto (3,2,6) na direção do vetor v=lang<=5,1,-2rang<=. O conteúdo é cálculo vetorial: usamos a definição de derivada direcional como o produto escalar do gradiente de f pelo vetor unitário na direção dada.

Passo 2

A definição de derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é
Duf(P)=nabla f(P)cdot u
Logo precisamos achar nabla f e o vetor unitário u=v/|v|.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y,z)=(x y z)^1/2:
partial fpartial x =12(x y z)^-1/2cdot (y z) =y z2raizx y z,
partial fpartial y =x z2raizx y z, partial fpartial z =x y2raizx y z

Passo 4

No ponto P=(3,2,6) temos x y z=3cdot2cdot6=36 e raiz36=6. Então
nabla f(3,2,6) =l(2cdot62cdot6,;3cdot62cdot6,;3cdot22cdot6r) =(1,tfrac32,tfrac12)

Passo 5

O vetor dado é v=lang<=5,1,-2rang<= e seu comprimento é
|v|=raiz5^2+1^2+(-2)^2=raiz25+1+4=raiz30
Assim o vetor unitário é
u=1raiz30lang<=5,1,-2rang<=

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar
Duf(3,2,6) =nabla f(3,2,6)cdot u =(1)5raiz30+l(tfrac32r)1raiz30+l(tfrac12r)-2raiz30 =5+1.5-1raiz30 =5.5raiz30 =112raiz30

Resposta

112raiz30

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