Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=y-2,

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
y' = y - 2
e pede para desenhar o campo de direções e determinar o comportamento de y(t) quando tto+infty. Vamos usar teoria de pontos de equilíbrio em EDOs autônomas e, em seguida, resolver explicitamente para confirmar o comportamento.

Passo 2

Para o campo de direções, em cada ponto (t,y) desenhamos um segmento com inclinação
m = y - 2
Isto implica:
  • Em y=2, m=0, segmentos horizontais.
  • Para y>2, m>0, segmentos inclinados para cima.
  • Para y<2, m<0, segmentos inclinados para baixo.
    Além disso, quanto maior |y-2|, maior a inclinação em módulo.

Passo 3

Ponto de equilíbrio é dado por
y-2=0Longrightarrow y=2
Esta reta horizontal é solução constante de equilíbrio.

Passo 4

Resolvendo explicitamente por fator integrante e^-t:
(y,e^-t)' = y',e^-t - y,e^-t = (y-2)e^-t - y,e^-t = -2e^-t
Integrando,
y,e^-t = integral -2e^-t,dt = 2e^-t + C,
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y(t) = Ce^t + 2

Passo 5

Da forma geral y(t)=Ce^t+2:
  • Se C>0, então y(t)to+infty quando tto+infty.
  • Se C<0, então y(t)to-infty quando tto+infty.
  • Se C=0, então y(t)=2 permanece constante.

Resposta

O campo de direções tem segmentos horizontais em y=2, inclinados para cima se y>2 e para baixo se y<2. Quando tto+infty:
  • se y(0)>2, então y(t)to+infty;
  • se y(0)<2, então y(t)to-infty;
  • se y(0)=2, então y(t)=2 permanece constante.

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