Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede para desenhar o campo de direções e determinar o comportamento de
quando
. Vamos usar teoria de pontos de equilíbrio em EDOs autônomas e, em seguida, resolver explicitamente para confirmar o comportamento.
Passo 2
Para o campo de direções, em cada ponto
desenhamos um segmento com inclinação
Isto implica:
- Em
, , segmentos horizontais. - Para
, , segmentos inclinados para cima. - Para
, , segmentos inclinados para baixo.
Além disso, quanto maior, maior a inclinação em módulo.
Passo 3
Ponto de equilíbrio é dado por
Esta reta horizontal é solução constante de equilíbrio.
Passo 4
Resolvendo explicitamente por fator integrante
:
Integrando,
logo
Passo 5
Da forma geral
:
- Se
, então quando . - Se
, então quando . - Se
, então permanece constante.
Resposta
O campo de direções tem segmentos horizontais em
, inclinados para cima se
e para baixo se
. Quando
:
- se
, então ; - se
, então ; - se
, então permanece constante.