Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^+infty(2^k+1+2 cdot 7^k9^k)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumk=0^+infty2^k+1+2cdot7^k9^k
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, seu valor. O conteúdo principal aqui é a soma de séries geométricas.

Passo 2

Separamos o termo geral em duas parcelas:
2^k+1+2cdot7^k9^k =;2cdot2^k9^k ;+;2cdot7^k9^k =2l(tfrac29r)^k ;+;2l(tfrac79r)^k
Logo a série original se escreve como
sumk=0^+infty2l(tfrac29r)^k ;+; sumk=0^+infty2l(tfrac79r)^k

Passo 3

Verificamos os módulos das razões:
l|tfrac29r|<1 e l|tfrac79r|<1.
Portanto cada série geométrica converge.

Passo 4

Calculamos as somas separadamente.
sumk=0^+infty2l(tfrac29r)^k =2cdot11-tfrac29 =2cdot1tfrac79 =2cdot97 =187,
sumk=0^+infty2l(tfrac79r)^k =2cdot11-tfrac79 =2cdot1tfrac29 =2cdot92 =9

Resposta

A série converge e sua soma é
187+9=18+637=817

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