Seja a função f(x)=x^4+2 x^2-x-3. Utilize o método do ponto fixo para determinar uma aproximação da raiz, repita o processo até a sexta iteração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício onde temos a função f(x) = x^4 + 2x^2 - x - 3 e precisa usar o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz dessa função, repetindo o processo até a sexta iteração. O conteúdo aqui é de Análise Numérica, especificamente sobre métodos iterativos para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método do ponto fixo. Basicamente, queremos reescrever a equação f(x) = 0 na forma x = g(x) . Isso nos permite criar uma sequência xn+1 = g(xn) que, se tudo der certo, vai convergir para a raiz da função.
No nosso caso, temos f(x) = x^4 + 2x^2 - x - 3 . Vamos reescrever isso como x = g(x) . Uma forma simples de fazer isso é isolando o x :
x = x^4 + 2x^2 - 31
Então, g(x) = x^4 + 2x^2 - 31 .

Passo 3

Agora, precisamos escolher um valor inicial, x0 , para começar as iterações. Vamos escolher x0 = 1 para simplificar.

Passo 4

Vamos calcular a primeira iteração ( x1 ) usando a fórmula xn+1 = g(xn) :
x1 = g(x0) = (1)^4 + 2(1)^2 - 31 = 1 + 2 - 31 = 0

Passo 5

Agora, calculamos a segunda iteração ( x2 ):
x2 = g(x1) = (0)^4 + 2(0)^2 - 31 = 0 + 0 - 31 = -3

Passo 6

Terceira iteração ( x3 ):
x3 = g(x2) = (-3)^4 + 2(-3)^2 - 31 = 81 + 18 - 31 = 96

Passo 7

Quarta iteração ( x4 ):
x4 = g(x3) = (96)^4 + 2(96)^2 - 31 approx 84934656 + 18432 - 31 approx 84953085

Passo 8

Quinta iteração ( x5 ):
x5 = g(x4) = (84953085)^4 + 2(84953085)^2 - 31
Esse número é extremamente grande e impraticável para cálculo manual. Isso indica que o método escolhido não está convergindo para uma raiz, mas sim diverging.

Resposta

Após seis iterações, o método do ponto fixo não convergiu para uma raiz e, na verdade, os valores estão aumentando muito rapidamente. Isso sugere que a escolha da função g(x) não é apropriada para este método neste caso específico.

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