Seja a função
. Utilize o método do ponto fixo para determinar uma aproximação da raiz, repita o processo até a sexta iteração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou o exercício onde temos a função
e precisa usar o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz dessa função, repetindo o processo até a sexta iteração. O conteúdo aqui é de Análise Numérica, especificamente sobre métodos iterativos para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona e aplicar as fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método do ponto fixo. Basicamente, queremos reescrever a equação
na forma
. Isso nos permite criar uma sequência
que, se tudo der certo, vai convergir para a raiz da função.
No nosso caso, temos
. Vamos reescrever isso como
. Uma forma simples de fazer isso é isolando o
:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um valor inicial,
, para começar as iterações. Vamos escolher
para simplificar.
Passo 4
Vamos calcular a primeira iteração (
) usando a fórmula
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda iteração (
):
Passo 6
Terceira iteração (
):
Passo 7
Quarta iteração (
):
Passo 8
Quinta iteração (
):
Esse número é extremamente grande e impraticável para cálculo manual. Isso indica que o método escolhido não está convergindo para uma raiz, mas sim diverging.
Resposta
Após seis iterações, o método do ponto fixo não convergiu para uma raiz e, na verdade, os valores estão aumentando muito rapidamente. Isso sugere que a escolha da função
não é apropriada para este método neste caso específico.