Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=y(y+3),

Passo 1

Temos a equação diferencial autônoma
y' = y(y+3)
O conteúdo é análise de equilíbrio e campo de direções para equações autônomas, e vamos usar linha de fase (phase line) para deduzir o comportamento de y(t) quando tto+infty.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
y(y+3)=0
que dá as soluções constantes
y=-3 e y=0

Passo 3

Analisamos o sinal de y(y+3) em cada região de y:
  • Se y<-3, então y<0 e y+3<0, logo y(y+3)>0 (setas para cima).
  • Se -3<y<0, então y<0 e y+3>0, logo y(y+3)<0 (setas para baixo).
  • Se y>0, então y>0 e y+3>0, logo y(y+3)>0 (setas para cima).

Passo 4

Com isso, na linha de fase temos
c uparrow y<-3, -3(estável), downarrow -3<y<0, 0(instável), uparrow y>0 áá
Ou seja, y=-3 é um equilíbrio estável e y=0 é instável.

Passo 5

Do campo de direções e da estabilidade concluímos:
  • Se a condição inicial y(0) satisfaz -infty<y(0)<0, então as soluções são empurradas em direção a y=-3 quando tto+infty.
  • Se y(0)>0, então y(t) cresce sem limite e y(t)to+infty quando tto+infty.
  • Se y(0)=-3 ou y(0)=0, a solução fica constante.

Resposta

Para y(0)<0, y(t)to -3 quando tto+infty.
Para y(0)>0, y(t)to +infty quando tto+infty.
Para y(0)=-3 ou 0, a solução permanece estacionária nesses valores.

Exercícios relacionados