Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
,
Passo 1
Temos a equação diferencial autônoma
O conteúdo é análise de equilíbrio e campo de direções para equações autônomas, e vamos usar linha de fase (phase line) para deduzir o comportamento de
quando
.
Passo 2
Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
que dá as soluções constantes
Passo 3
Analisamos o sinal de
em cada região de
:
- Se
, então e , logo (setas para cima). - Se
, então e , logo (setas para baixo). - Se
, então e , logo (setas para cima).
Passo 4
Com isso, na linha de fase temos
Ou seja,
é um equilíbrio estável e
é instável.
Passo 5
Do campo de direções e da estabilidade concluímos:
- Se a condição inicial
satisfaz , então as soluções são empurradas em direção a quando . - Se
, então cresce sem limite e quando . - Se
ou , a solução fica constante.
Resposta
Para
,
quando
.
Para ,
quando
.
Para ou
, a solução permanece estacionária nesses valores.
Para
Para