Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=y(y-3),

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial autónoma
y' = y(y-3)
e, a partir dele, determinar o comportamento de y(t) quando tto+infty. O conteúdo usado será análise de pontos de equilíbrio e estudo de estabilidade pelo sinal de y'.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
y(y-3)=0
ou seja, bar y1=0 e bar y2=3. No campo de direções, cada reta tangente tem inclinação positiva se y(y-3)>0 e negativa se y(y-3)<0.

Passo 3

Analisamos o sinal de y(y-3) nos intervalos determinados por 0 e 3:
  • Para y<0, temos y<0 e y-3<0, logo y(y-3)>0. Neste ramo as soluções crescem (setas apontam para cima).
  • Para 0<y<3, temos y>0 e y-3<0, logo y(y-3)<0. Neste ramo as soluções decrescem (setas apontam para baixo).
  • Para y>3, temos y>0 e y-3>0, logo y(y-3)>0. Neste ramo as soluções crescem (setas para cima).

Passo 4

Com base nisso, classificamos a estabilidade:
  • y=0 é assintoticamente estável, pois soluções à esquerda sobem para 0 e à direita descem para 0.
  • y=3 é instável, pois soluções abaixo de 3 descem para 0 e acima de 3 sobem sem limite.
    Logo, para condições iniciais y(0)=y0:
  • Se y0<3, a solução tende a 0 quando tto+infty.
  • Se y0=3, permanece em y(t)=3.
  • Se y0>3, cresce ilimitadamente e y(t)to+infty.

Resposta

Para a equação y'=y(y-3):
  • Se y(0)<3, então y(t)to0 quando tto+infty.
  • Se y(0)=3, então y(t)equiv3.
  • Se y(0)>3, então y(t)to+infty quando tto+infty.

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