Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
,
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial autónoma
e, a partir dele, determinar o comportamento de
quando
. O conteúdo usado será análise de pontos de equilíbrio e estudo de estabilidade pelo sinal de
.
Passo 2
Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
ou seja,
e
. No campo de direções, cada reta tangente tem inclinação positiva se
e negativa se
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por
e
:
- Para
, temos e , logo . Neste ramo as soluções crescem (setas apontam para cima). - Para
, temos e , logo . Neste ramo as soluções decrescem (setas apontam para baixo). - Para
, temos e , logo . Neste ramo as soluções crescem (setas para cima).
Passo 4
Com base nisso, classificamos a estabilidade:
-
é assintoticamente estável, pois soluções à esquerda sobem para e à direita descem para . -
é instável, pois soluções abaixo de descem para e acima de sobem sem limite.
Logo, para condições iniciais: - Se
, a solução tende a quando . - Se
, permanece em . - Se
, cresce ilimitadamente e .
Resposta
Para a equação
:
- Se
, então quando . - Se
, então . - Se
, então quando .