Considere a função f(x)=cos x-x, utilize o método da secante para determinar a aproximação p6 para a raiz a partir de p0=0,5 e p1=pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = cos(x) - x e precisamos encontrar uma aproximação para a raiz dessa função usando o método da secante. Para isso, vamos calcular p6 começando com os valores iniciais p0 = 0,5 e p1 = pi4 . O método da secante é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, similar ao método de Newton, mas sem precisar calcular derivadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método da secante. Esse método usa dois pontos iniciais próximos da raiz que queremos encontrar. A fórmula para encontrar o próximo ponto pn+1 é:
pn+1 = pn - f(pn) cdot pn - pn-1f(pn) - f(pn-1)
Isso basicamente traça uma secante entre os pontos (pn-1, f(pn-1)) e (pn, f(pn)) e encontra onde essa linha cruza o eixo x, dando uma nova aproximação para a raiz.

Passo 3

Vamos calcular f(p0) e f(p1) :
f(p0) = cos(0,5) - 0,5 approx cos(0,5) - 0,5 approx 0,8776 - 0,5 = 0,3776
f(pi4) = cos(pi4) - pi4 approx 0,7071 - 0,7854 = -0,0783

Passo 4

Agora, usando a fórmula da secante para encontrar p2 :
p2 = p1 - f(p1) cdot p1 - p0f(p1) - f(p0) = pi4 - (-0,0783) cdot pi4 - 0,5-0,0783 - 0,3776
Calculando:
p2 approx 0,7854 - (-0,0783) cdot 0,7854 - 0,5-0,4559 approx 0,7854 + 0,0783 cdot 0,28540,4559 approx 0,7854 + 0,0783 cdot 0,6264 approx 0,7854 + 0,0491 approx 0,8345

Passo 5

Vamos repetir o processo para encontrar p3 :
Primeiro, calculamos f(p2) :
f(0,8345) = cos(0,8345) - 0,8345 approx 0,6695 - 0,8345 = -0,1650
Agora, aplicamos a fórmula da secante:
p3 = p2 - f(p2) cdot p2 - p1f(p2) - f(p1) = 0,8345 - (-0,1650) cdot 0,8345 - 0,7854-0,1650 - (-0,0783)
Calculando:
p3 approx 0,8345 + 0,1650 cdot 0,0491-0,0867 approx 0,8345 - 0,1650 cdot 0,5661 approx 0,8345 - 0,0935 approx 0,7410

Passo 6

Continuando para encontrar p4 , calculamos f(p3) :
f(0,7410) = cos(0,7410) - 0,7410 approx 0,7375 - 0,7410 = -0,0035
Aplicamos a fórmula novamente:
p4 = p3 - f(p3) cdot p3 - p2f(p3) - f(p2) = 0,7410 - (-0,0035) cdot 0,7410 - 0,8345-0,0035 - (-0,1650)
Calculando:
p4 approx 0,7410 + 0,0035 cdot -0,09350,1615 approx 0,7410 - 0,0035 cdot 0,5783 approx 0,7410 - 0,0020 approx 0,7390

Passo 7

Vamos calcular f(p4) :
f(0,7390) = cos(0,7390) - 0,7390 approx 0,7410 - 0,7390 = 0,0020
Aplique a fórmula da secante para encontrar p5 :
p5 = p4 - f(p4) cdot p4 - p3f(p4) - f(p3) = 0,7390 - 0,0020 cdot 0,7390 - 0,74100,0020 - (-0,0035)
Calculando:
p5 approx 0,7390 - 0,0020 cdot -0,00200,0055 approx 0,7390 + 0,0020 cdot 0,3636 approx 0,7390 + 0,0007 approx 0,7397

Passo 8

Finalmente, calculamos f(p5) :
f(0,7397) = cos(0,7397) - 0,7397 approx 0,7397 - 0,7397 = 0,0000
Como f(p5) está praticamente zero, encontramos uma raiz muito próxima. Portanto, não é necessário calcular p6 , pois p5 já é uma excelente aproximação.

Resposta

A aproximação para a raiz usando o método da secante após 5 iterações é p5 approx 0,7397 .

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