Mostre que, se z=f(x, y) for diferenciテ。vel em x0=lang<= x0, y0rang<=, entテ」o
lim x x0 f(x)-f(x0)-nabla f(x0) cdot(x-x0)|x-x0|=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se fcolonR^2toR é diferenciável em x0=lang<= x0,y0rang<=, então
limxtox0 f(x)-f(x0)-nabla f(x0)cdot(x-x0) lvertx-x0rvert =0
O conteúdo principal aqui é a definição de diferenciabilidade em várias variáveis, que diz exatamente que o erro entre f(x) e sua aproximação linear por nabla f(x0) é o(lvertx-x0rvert).

Passo 2

Pela definição de diferenciabilidade em x0 existe um mapa linear L tal que, chamando De<ax=x-x0,
f(x0+De<ax)-f(x0) = L(De<ax) + ol(lvertDe<axrvertr),
ou seja,
f(x)-f(x0) = L(x-x0) + r(x),
onde r(x)/ lvertx-x0rvertto0 quando xtox0.

Passo 3

Para funções reais de duas variáveis, o mapa linear L coincide com o produto escalar pelo gradiente em x0:
L(x-x0) =nabla f(x0)cdot(x-x0)
Logo podemos escrever
f(x)-f(x0) -nabla f(x0)cdot(x-x0) = r(x),
com
limxtox0r(x) lvertx-x0rvert=0

Passo 4

Basta agora dividir ambos os lados por lvertx-x0rvert. Obtemos
f(x)-f(x0) -nabla f(x0)cdot(x-x0) lvertx-x0rvert =r(x)lvertx-x0rvert
Pelo que vimos acima, o lado direito tende a 0 quando xtox0.

Resposta

limxtox0 f(x)-f(x0)-nabla f(x0)cdot(x-x0) lvertx-x0rvert =0

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