Mostre que, se
for diferenciテ。vel em
, entテ」o
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é diferenciável em
, então
O conteúdo principal aqui é a definição de diferenciabilidade em várias variáveis, que diz exatamente que o erro entre
e sua aproximação linear por
é
.
Passo 2
Pela definição de diferenciabilidade em
existe um mapa linear
tal que, chamando
,
ou seja,
onde
quando
.
Passo 3
Para funções reais de duas variáveis, o mapa linear
coincide com o produto escalar pelo gradiente em
:
Logo podemos escrever
com
Passo 4
Basta agora dividir ambos os lados por
. Obtemos
Pelo que vimos acima, o lado direito tende a
quando
.