Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
,
Passo 1
Estamos diante da EDO autônoma
onde queremos esboçar o campo de direções e prever o comportamento de
quando
. Para isso, vamos usar o conceito de equilíbrio (pontos críticos) e a solução explícita da EDO.
Passo 2
Para desenhar o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto
é
Isso significa:
– Em , temos
, ou seja, vetores horizontais.
– Para ,
, vetores apontando para baixo.
– Para ,
, vetores apontando para cima.
Logo, a reta separa regiões com inclinações opostas.
– Em
– Para
– Para
Logo, a reta
Passo 3
O equilíbrio é dado por
Como
, esse ponto crítico é assintoticamente estável: todas as soluções tendem a
.
Passo 4
Para confirmar, resolvemos a EDO separável:
Integrando,
onde
depende de
. Da forma explícita vemos que
Resposta
Todas as curvas integradas do campo de direções convergem para
quando
.