Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=-2-y,

Passo 1

Estamos diante da EDO autônoma
y' = -2 - y,
onde queremos esboçar o campo de direções e prever o comportamento de y(t) quando tto+infty. Para isso, vamos usar o conceito de equilíbrio (pontos críticos) e a solução explícita da EDO.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto (t,y) é
m = y' = -2 - y
Isso significa:
– Em y=-2, temos m=0, ou seja, vetores horizontais.
– Para y>-2, m<0, vetores apontando para baixo.
– Para y<-2, m>0, vetores apontando para cima.
Logo, a reta y=-2 separa regiões com inclinações opostas.

Passo 3

O equilíbrio é dado por
-2 - ye = 0 Longrightarrow ye = -2
Como ddy(-2-y) = -1<0, esse ponto crítico é assintoticamente estável: todas as soluções tendem a y=-2.

Passo 4

Para confirmar, resolvemos a EDO separável:
dydt = -(y+2) Longrightarrow dyy+2 = -,dt
Integrando,
ln|y+2| = -t + C Longrightarrow y(t) = -2 + K e^-t,
onde K=e^C depende de y(0). Da forma explícita vemos que
limtto+inftyy(t) = -2

Resposta

Todas as curvas integradas do campo de direções convergem para y=-2 quando tto+infty.

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