Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^+infty ln (kk+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^+infty lnl(tfrackk+1r)
O conteúdo aqui é reconhecer que o termo geral pode ser escrito como diferença de logaritmos, o que sugere usar a técnica de soma telescópica.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando propriedades de logaritmo:
lnl(tfrackk+1r) =ln(k)-ln(k+1)
Isso mostra que cada termo é da forma ak - ak+1 com ak=ln(k).

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumk=1^Nl[ln(k)-ln(k+1)r]
Observe que, ao escrever os primeiros termos, ocorre cancelamento em cascata:
(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln N-ln(N+1)) =ln1-ln(N+1)
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SN=-ln(N+1),
pois ln1=0.

Passo 4

Para decidir a convergência, analisamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl[-ln(N+1)r] =-infty

Passo 5

Como as somas parciais divergem para -infty, a série não converge a um valor finito.

Resposta

A série diverge (vai para -infty).

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