Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de y quando t +infty.
y^prime=2-y.

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos o campo de direções da equação diferencial
y' = 2 - y
e que determinem o comportamento das soluções y(t) quando t to +infty.
O conteúdo envolvido é ODE de primeira ordem autônoma, equilíbrio e análise de estabilidade.

Passo 2

Como é uma equação autônoma, localizamos os pontos de equilíbrio definindo
y' = 0 Longrightarrow 2 - y = 0 Longrightarrow y = 2
Esse valor de y é onde as tangentes são horizontais no campo de direções.

Passo 3

Para esboçar o campo de direções, notamos que a inclinação em cada ponto (t,y) vale 2 - y. Por exemplo:
– Em y=0, y'=2: segmentos inclinados positivamente (bem íngremes).
– Em y=1, y'=1: segmentos com inclinação 45^circ.
– Em y=2, y'=0: segmentos horizontais.
– Em y=3, y'=-1: segmentos com inclinação negativa moderada.
– Em y=4, y'=-2: segmentos inclinados negativamente (bem íngremes).

Passo 4

Para ficar mais claro, resolvemos a ODE por separação de variáveis ou método do fator integrante. Reescrevendo
dydt = -(y - 2),
separamos e integramos
integral dyy - 2 = -integral dt Longrightarrow ln|y - 2| = -t + C Longrightarrow y(t) = 2 + Ce^-t

Passo 5

Analisando y(t) = 2 + Ce^-t quando t to +infty, temos e^-tto0, logo
limtto+infty y(t) = 2

Passo 6

Em termos qualitativos:
– Se y(0)=y0<2, então C=y0-2<0 e y(t) cresce assintoticamente para 2.
– Se y(0)=y0>2, então C>0 e y(t) decresce assintoticamente para 2.
– Se y(0)=2, então C=0 e y(t)equiv2 (solução constante).

Resposta

O campo de direções tem inclinação 2-y (horizontal em y=2, positiva abaixo e negativa acima). Todas as soluções y(t)=2+Ce^-t tendem para 2 quando tto+infty. Se y0<2 crescem para 2, se y0>2 decaem para 2, e se y0=2 ficam constantes.

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