Para cada uma das seguintes equações diferenciais, disemhe um campos de direções y determine o possível comportamento de
quando
.
.
Passo 1
O enunciado pede que esbocemos o campo de direções da equação diferencial
e que determinem o comportamento das soluções
quando
.
O conteúdo envolvido é ODE de primeira ordem autônoma, equilíbrio e análise de estabilidade.
O conteúdo envolvido é ODE de primeira ordem autônoma, equilíbrio e análise de estabilidade.
Passo 2
Como é uma equação autônoma, localizamos os pontos de equilíbrio definindo
Esse valor de
é onde as tangentes são horizontais no campo de direções.
Passo 3
Para esboçar o campo de direções, notamos que a inclinação em cada ponto
vale
. Por exemplo:
– Em ,
: segmentos inclinados positivamente (bem íngremes).
– Em ,
: segmentos com inclinação
.
– Em ,
: segmentos horizontais.
– Em ,
: segmentos com inclinação negativa moderada.
– Em ,
: segmentos inclinados negativamente (bem íngremes).
– Em
– Em
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Para ficar mais claro, resolvemos a ODE por separação de variáveis ou método do fator integrante. Reescrevendo
separamos e integramos
Passo 5
Analisando
quando
, temos
, logo
Passo 6
Em termos qualitativos:
– Se , então
e
cresce assintoticamente para 2.
– Se , então
e
decresce assintoticamente para 2.
– Se , então
e
(solução constante).
– Se
– Se
– Se
Resposta
O campo de direções tem inclinação
(horizontal em
, positiva abaixo e negativa acima). Todas as soluções
tendem para
quando
. Se
crescem para
, se
decaem para
, e se
ficam constantes.