3^a Q U E S T A A O: Calcule a integral dupla:
integralR integral(y+x y^-2) d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(y + x,y^-2r),dA,
onde R é o retângulo definido por
0 <= x <= 2, 1 <= y <= 2
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas sobre um domínio retangular.

Passo 2

Vamos escrever a integral como iterada, integrando primeiro em x e depois em y:
integraly=1^2!integralx=0^2l(y + x,y^-2r),dx,dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integral0^2l(y + x,y^-2r),dx = integral0^2y,dx + integral0^2x,y^-2,dx
Como y é constante em relação a x,
integral0^2y,dx = ycdot 2 = 2y,
e
integral0^2x,y^-2,dx = y^-2,x^22|0^2 = y^-2,42 = 2,y^-2
Logo a integral interna é
2y + 2,y^-2

Passo 4

Agora integraremos em y:
integral1^2l(2y + 2,y^-2r),dy = 2integral1^2y,dy ;+; 2integral1^2y^-2,dy
Calculando cada parte:
2integral1^2y,dy = 2l[tfracy^22r]1^2 = 2cdot4-12 = 3,
2integral1^2y^-2,dy = 2l[-y^-1r]1^2 = 2l(-tfrac12 + 1r) = 1
Somando os resultados obtemos 3 + 1 = 4.

Resposta

4

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