Para cada uma das seguintes matrizes, encontre uma base para o espaço linha, uma base para o espaço coluna e uma para o espaço nulo.
\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede, para cada vetor-matriz 3\times 1
A_i=\begin{pmatrix}a_{1i}\a_{2i}\a_{3i}\end{pmatrix},
que encontremos
– uma base para o espaço coluna de A_i (subespaço de \mathbb{R}^3),
– uma base para o espaço linha de A_i (subespaço de \mathbb{R}^1),
– e uma base para o espaço nulo de A_i (soluções de A_i x=0 em \mathbb{R}^1).
Para uma matriz 3\times 1 não nula, o posto é 1, logo
  1. coluna não nula gera o espaço coluna;
  2. ao reduzir por linhas, sobra um único pivô em \mathbb{R}^1, gerando o espaço linha;
  3. a nullidade é 1-1=0, de modo que só o vetor zero pertence ao núcleo.

Passo 2

Para A_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}:
– Espaço coluna: é \mathrm{span}\{(1,1,1)\}.
Base escolhida: \{(1,1,1)\}.
– Espaço linha: cada linha é um escalar em \mathbb{R}^1, e ao colocar em forma escalonada aparece o pivô 1.
Base escolhida: \{[1]\}\subset\mathbb{R}^1.
– Espaço nulo: solução de
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}x=0
só admite x=0. Logo o núcleo é \{0\}, sem base não trivial.

Passo 3

Para A_2=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}:
– Espaço coluna: \mathrm{span}\{(1,2,3)\}.
Base: \{(1,2,3)\}.
– Espaço linha: pivot é 1 em \mathbb{R}^1.
Base: \{[1]\}.
– Espaço nulo: x=0 é a única solução, núcleo = \{0\}.

Passo 4

Para A_3=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}:
– Espaço coluna: \mathrm{span}\{(2,3,1)\}.
Base: \{(2,3,1)\}.
– Espaço linha: pivot é 1 (normaliza-se a linha) em \mathbb{R}^1.
Base: \{[1]\} ou, na forma original, \{[2]\}.
– Espaço nulo: só x=0, núcleo = \{0\}.

Resposta

Para \displaystyle A_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}:
coluna: \{(1,1,1)\};
linha: \{[1]\};
nulo: \{0\}.
Para \displaystyle A_2=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}:
coluna: \{(1,2,3)\};
linha: \{[1]\};
nulo: \{0\}.
Para \displaystyle A_3=\begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}:
coluna: \{(2,3,1)\};
linha: \{[1]\};
nulo: \{0\}.

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