Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
g(r, \theta)=r \cos \theta+r \operatorname{sen} \theta ; \frac{\partial g}{\partial r}, \frac{\partial g}{\partial \theta}.

Passo 1

O enunciado dá a função g(r,\theta)=r\cos\theta + r\operatorname{sen}\theta e pede duas derivadas parciais: \frac{\partial g}{\partial r} e \frac{\partial g}{\partial \theta}.
Informações relevantes:
  • As variáveis independentes são r e \theta.
  • A função é soma de dois termos: r\cos\theta e r\operatorname{sen}\theta.
  • Observação: \operatorname{sen}\theta é a mesma função que \sin\theta (só muda a notação em português).

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou dar a definição para ficar claro e tranquilo: a derivada parcial de g em relação a r mantém \theta fixo e mede a taxa de variação de g quando só r muda. Formalmente,
\frac{\partial g}{\partial r}(r_0,\theta_0)=\lim_{h\to0}\frac{g(r_0+h,\theta_0)-g(r_0,\theta_0)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a \theta mantém r fixo:
\frac{\partial g}{\partial \theta}(r_0,\theta_0)=\lim_{h\to0}\frac{g(r_0,\theta_0+h)-g(r_0,\theta_0)}{h}.
Na prática, para funções simples usamos regras de derivação: tratar a outra variável como constante.

Passo 3

Derivando em relação a r: como \theta é tratada como constante, \cos\theta e \sin\theta são constantes multiplicativas. Para cada termo:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\cos\theta\bigr)=\cos\theta, porque a derivada de r em relação a r é 1 e o multiplicador \cos\theta é constante.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\sin\theta\bigr)=\sin\theta pelo mesmo motivo.
    Somando os dois resultados,
\frac{\partial g}{\partial r}=\cos\theta+\sin\theta.

Passo 4

Derivando em relação a \theta: agora r é constante. Usamos as derivadas usuais das funções trigonométricas: \displaystyle \frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta e \displaystyle \frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta. Então:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(r\cos\theta\bigr)=r\cdot\frac{d}{d\theta}\cos\theta = r(-\sin\theta) = -r\sin\theta.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(r\sin\theta\bigr)=r\cdot\frac{d}{d\theta}\sin\theta = r\cos\theta.
    Somando,
\frac{\partial g}{\partial \theta}=-r\sin\theta + r\cos\theta = r(\cos\theta-\sin\theta).

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só pra ver sentido físico): em r=2 e \theta=\pi/4 temos \cos\theta=\sin\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\frac{\partial g}{\partial r}= \tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
\frac{\partial g}{\partial \theta}=2\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=0.
Interpretação: nesse ponto, mudar r altera g, mas mudar \theta (infinitesimalmente) não altera g.

Passo 6

Dica de prova: sempre que pedirem derivada parcial, pergunte a si mesmo “qual variável fica fixa?”. Depois aplique regras básicas (derivada de r é 1; derivada de \sin e \cos são \cos e -\sin) e some termo a termo. Vai dar certo!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial r}=\cos\theta+\sin\theta
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \theta}=r\bigl(\cos\theta-\sin\theta\bigr)

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