Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas derivadas parciais:
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- As variáveis independentes são
e . - A função é soma de dois termos:
e . - Observação:
é a mesma função que (só muda a notação em português).
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou dar a definição para ficar claro e tranquilo: a derivada parcial de
em relação a
mantém
fixo e mede a taxa de variação de
quando só
muda. Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
mantém
fixo:
Na prática, para funções simples usamos regras de derivação: tratar a outra variável como constante.
Passo 3
Derivando em relação a
: como
é tratada como constante,
e
são constantes multiplicativas. Para cada termo:
-
, porque a derivada de em relação a é e o multiplicador é constante. -
pelo mesmo motivo.
Somando os dois resultados,
Passo 4
Derivando em relação a
: agora
é constante. Usamos as derivadas usuais das funções trigonométricas:
e
. Então:
-
-
Somando,
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só pra ver sentido físico): em
e
temos
. Então
Interpretação: nesse ponto, mudar
altera
, mas mudar
(infinitesimalmente) não altera
.
Passo 6
Dica de prova: sempre que pedirem derivada parcial, pergunte a si mesmo “qual variável fica fixa?”. Depois aplique regras básicas (derivada de
é
; derivada de
e
são
e
) e some termo a termo. Vai dar certo!