Para cada uma das seguintes expressões encontrar os valores de x para os quais são soluções.
(k) |2 x+4| >=|3 x-1|.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo valores absolutos
|2x+4|>=|3x-1|
O conteúdo aqui é inequação com módulo. Vamos usar que
|A|>=|B|Long<=ftrightarrow A^2>= B^2,
para eliminar os módulos.

Passo 2

Aplicando A=2x+4 e B=3x-1, escrevemos
(2x+4)^2>=(3x-1)^2
Em seguida usamos diferença de quadrados:
(2x+4)^2-(3x-1)^2>=0 Long<=ftrightarrow l((2x+4)-(3x-1)r),l((2x+4)+(3x-1)r)>=0

Passo 3

Calculando as parcelas:
(2x+4)-(3x-1)=-x+5=5-x, (2x+4)+(3x-1)=5x+3
Logo a inequação vira
(5-x)(5x+3)>=0

Passo 4

Os zeros dos fatores são 5-x=0implies x=5 e 5x+3=0implies x=-tfrac35.
Fazendo o estudo de sinais:
  • Para x<-tfrac35: 5-x>0 e 5x+3<0 Rightarrow produto < 0.
  • Para -tfrac35<x<5: 5-x>0 e 5x+3>0 Rightarrow produto > 0.
  • Para x>5: 5-x<0 e 5x+3>0 Rightarrow produto < 0.
    Incluímos também os pontos em que o produto é zero, pois queremos “ >=0”.

Passo 5

Concluímos que a solução da inequação é o intervalo
-tfrac35<= x<=5

Resposta

boxedl[-tfrac35,,5r]

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