Calcule os limites:
lim x 0 ln (cos (x))x^2

Passo 1

Então, a questão pede “Calcule o limite
limxto0ln(cos x)x^2”.
Conteúdo: limites usando séries de Taylor/Maclaurin.
O que vamos precisar:
  • A expansão de cos x perto de zero;
  • A expansão de ln(1+u) para u pequeno;
  • Entender que, para calcular o limite, basta pegar os termos de menor ordem que não se anulem.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra da série de Taylor (Maclaurin) de cos x em torno de 0:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + cdots
Isso significa que, para valores bem pequenos de x,
cos xapprox 1 - tfracx^22 + tfracx^424.

Passo 3

Agora vamos chamar
u = cos x - 1
Então, usando o que encontramos,
u = -x^22 + x^424 + cdots
E a gente sabe que, para lvert urvert pequeno,
ln(1+u) = u - u^22 + cdots

Passo 4

Substituindo u dentro de ln(1+u):
ln(cos x) = lnl(1 + ur) = l(-x^22 + x^424r) - 12l(-x^22r)^!2 + cdots
Calculemos o segundo termo:
l(-tfracx^22r)^2 = tfracx^44, então
ln(cos x) = -x^22 + x^424 - 12,x^44 + cdots = -x^22 + x^424 - x^48 + cdots = -x^22 - x^412 + cdots

Passo 5

Agora dividimos por x^2 e analisamos o limite:
ln(cos x)x^2 = -tfracx^22 - tfracx^412 + cdotsx^2 = -12 ;-;x^212 + cdots
Quando xto0, os termos com x^2 somam zero, sobrando
limxto0ln(cos x)x^2 = -12

Resposta

-tfrac12

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