Prove as seguintes propriedades
|1x|=1|x|, forall x in R^*

Passo 1

O enunciado pede para provar que
|1x| = 1|x|,
para todo xinR^* (i.e., xneq0).
O conteúdo envolvido é a definição de valor absoluto e a análise por casos, já que o valor absoluto é definido de modo diferente para números positivos e negativos.

Passo 2

Relembramos a definição de valor absoluto de um número real y:
|y| = y, & se y>=0, -,y, & se y<0

Passo 3

Caso x>0:
  • Então 1x>0.
  • Pela definição, l|1xr| = 1x.
  • Também |x| = x, logo 1|x| = 1x.
    Portanto
l|tfrac1xr| = 1x = 1|x|

Passo 4

Caso x<0:
  • Então 1x<0.
  • Pela definição, l|1xr| = -1x = 1-x
  • Como x<0, temos |x| = -x, logo 1|x| = 1-x
    Assim
l|tfrac1xr| = 1-x = 1|x|

Passo 5

Nos dois casos ( x>0 e x<0 ) chegamos à mesma igualdade
|1x| = 1|x|

Resposta

|1x| = 1|x| para todo xinR^*.

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