Para cada uma das seguintes expressões encontrar os valores de x para os quais são soluções.
(j) |3 x-2|+|2 x-1| >= 3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os xinR que satisfazem
|3x-2| + |2x-1| >= 3
O conteúdo é desigualdade envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos usar a ideia de quebrar o domínio em partes onde cada expressão dentro dos módulos tem sinal definido.

Passo 2

Identificamos os pontos em que os argumentos dos módulos mudam de sinal:
3x - 2 = 0 implies x = tfrac23, 2x - 1 = 0 implies x = tfrac12
Assim, dividimos a reta real em três intervalos:
(-infty,tfrac12), [tfrac12,tfrac23), [tfrac23,infty)

Passo 3

Para x<tfrac12 temos 3x-2<0 e 2x-1<0, logo
|3x-2| = 2-3x, |2x-1| = 1-2x,
e a desigualdade vira
(2-3x) + (1-2x) >= 3 Long<=ftrightarrow 3 - 5x >= 3 Long<=ftrightarrow -5x >= 0 Long<=ftrightarrow x <= 0
Intersectando com x<tfrac12, obtemos solução x<=0.

Passo 4

Para tfrac12 <= x < tfrac23 temos 2x-1>=0 e 3x-2<0, então
|3x-2| = 2-3x, |2x-1| = 2x-1,
e
(2-3x)+(2x-1) >= 3 Long<=ftrightarrow 1 - x >= 3 Long<=ftrightarrow x <= -2
Não há x no intervalo [tfrac12,tfrac23) que satisfaça x<= -2, logo nenhuma solução nesta parte.

Passo 5

Para x>=tfrac23 temos 3x-2>=0 e 2x-1>=0, então
|3x-2| = 3x-2, |2x-1| = 2x-1,
e
(3x-2)+(2x-1) >= 3 Long<=ftrightarrow 5x - 3 >= 3 Long<=ftrightarrow 5x >= 6 Long<=ftrightarrow x >= tfrac65
Intersectando com x>=tfrac23 x>=tfrac65.

Passo 6

Juntando todas as partes, a solução da desigualdade é
x <= 0 ou x >= tfrac65

Resposta

(-infty,0];cup;[6/5,infty)

Exercícios relacionados