Para cada uma das seguintes expressões encontrar os valores de x para os quais são soluções.
(c) |x-2|-|x-1|+|x+3|=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
lvert x-2rvert ;-;lvert x-1rvert;+;lvert x+3rvert ;=;0
O conteúdo aqui é “equações com valor absoluto”. A técnica é identificar os pontos em que os argumentos dos módulos mudam de sinal, dividir o domínio nesses intervalos e, em cada um, substituir lvert urvert por u ou por -u conforme o sinal de u.

Passo 2

Os pontos em que as expressões internas mudam de sinal são x=2, x=1 e x=-3. Isso gera quatro intervalos:
(-infty,-3),[-3,1),[1,2),[2,infty)

Passo 3

No intervalo x< -3 temos
;x-2<0, ;x-1<0, ;x+3<0.
Logo
lvert x-2rvert = 2-x, lvert x-1rvert = 1-x, lvert x+3rvert = -x-3
A equação vira
(2-x);-;(1-x);+;(-x-3)=0 ;Longrightarrow; -,x-2=0 ;Longrightarrow; x=-2
Mas -2 não está em (-infty,-3), então não vale aqui.

Passo 4

No intervalo -3<= x<1 temos
;x-2<0, ;x-1<0, ;x+3>=0.
Logo
lvert x-2rvert = 2-x, lvert x-1rvert = 1-x, lvert x+3rvert = x+3
A equação vira
(2-x);-;(1-x);+;(x+3)=0 ;Longrightarrow; x+4=0 ;Longrightarrow; x=-4
Mas -4 não pertence a [-3,1), então não vale aqui.

Passo 5

No intervalo 1<= x<2 temos
;x-2<0, ;x-1>=0, ;x+3>=0.
Logo
lvert x-2rvert = 2-x, lvert x-1rvert = x-1, lvert x+3rvert = x+3
A equação vira
(2-x);-;(x-1);+;(x+3)=0 ;Longrightarrow; 6 - x = 0 ;Longrightarrow; x = 6
Mas 6notin[1,2), não serve.

Passo 6

No intervalo x>=2 temos
;x-2>=0, ;x-1>=0, ;x+3>=0.
Logo
lvert x-2rvert = x-2, lvert x-1rvert = x-1, lvert x+3rvert = x+3
A equação fica
(x-2);-;(x-1);+;(x+3)=0 ;Longrightarrow; x+2=0 ;Longrightarrow; x=-2
Mas -2 não está em [2,infty).

Passo 7

Nenhum dos valores obtidos pertence ao intervalo em que foi gerado, e nos pontos críticos x=-3,1,2 também não se satisfaz a equação. Logo não há solução real.

Resposta

Não existe xinR que satisfaça
lvert x-2rvert - lvert x-1rvert + lvert x+3rvert = 0
O conjunto solução é o vazio, varnothing.

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