Para cada uma das seguintes expressões encontrar os valores de x para os quais são soluções.
(l) |3 x-12 x+3|<14.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|3x-12x+3|<14,
que envolve valor absoluto e função racional. Vamos usar que, para B>0,
|A|<B Long<=ftrightarrow -B<A<B,
e depois resolver duas desigualdades racionais, lembrando de excluir do domínio x=-tfrac32.

Passo 2

Identificamos o domínio da expressão original:
2x+3neq0 Long<=ftrightarrow xneq -32
Reescrevemos o problema como
-,14<3x-12x+3<14

Passo 3

Resolver a parte superior
3x-12x+3<14
Passo a passo:
3x-12x+3-14<0 Long<=ftrightarrow 4(3x-1)-(2x+3)4(2x+3)<0 Long<=ftrightarrow 10x-78x+12<0
Aqui o numerador zera em x=710 e o denominador em x=-tfrac32. Analisando o sinal, conclui-se
10x-78x+12<0 Long<=ftrightarrow -32<x<710

Passo 4

Resolver a parte inferior
3x-12x+3>-14
Fazendo analogamente:
3x-12x+3+14>0 Long<=ftrightarrow 4(3x-1)+(2x+3)4(2x+3)>0 Long<=ftrightarrow 14x-18x+12>0
O numerador zera em x=114 e o denominador em x=-tfrac32. O quadro de sinais leva a
14x-18x+12>0 Long<=ftrightarrow x<-32 ou x>114
Retirando x=-tfrac32, temos
(-infty,-tfrac32)cupl(tfrac114,inftyr)

Passo 5

Agora intersectamos as soluções dos dois ramos dentro do domínio. A parte superior deu
,(-tfrac32,tfrac710)
e a parte inferior
,(-infty,-tfrac32)cup(tfrac114,infty).
A interseção não inclui nada abaixo de -tfrac32, e entre -tfrac32 e infty fica
(tfrac114,tfrac710)

Resposta

boxed114<x<710

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