Calcule os limites:
lim x infty ln (e^2 x+e^x)-2 x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar
limxtoinftyl[lnl(e^2x+e^xr)-2xr]
Conteúdo: limites, propriedades de logaritmo e exponencial.
O que vamos usar:
  1. Fatoração de potências exponenciais.
  2. Propriedade ln(ab)=ln a+ln b.
  3. Noção de limites de e^-x e continuidade do ln.

Passo 2

Primeiro, dentro do ln a gente fator ou fatura o termo “maior” em e.
Note que
e^2x+e^x = e^2xl(1+e^xe^2xr) = e^2xl(1+e^-xr)

Passo 3

Agora aplicamos ln(ab)=ln a+ln b:
lnl(e^2x+e^xr) = lnl(e^2x(1+e^-x)r) = ln(e^2x) + ln(1+e^-x) = 2x + ln(1+e^-x)
Então a expressão vira
ln(e^2x+e^x)-2x = l[2x + ln(1+e^-x)r] - 2x = ln(1+e^-x)

Passo 4

Falta ver
limxtoinfty ln(1+e^-x)
Como e^-xto 0 quando xtoinfty e ln é contínua em 1, a gente tem
limxtoinftyln(1+e^-x) = lnl(1+0r) = ln(1) = 0

Resposta

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