Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(3 x^{2} y+e^{y}\right) d x+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) d y=0)
(\left(3 x^{2} y+e^{y}\right) d x+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) d y=0)
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para determinar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas, que exige verificar o teste de exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Denotando
calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora impomos
logo
Passo 4
Portanto a função potencial é
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é