Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(3 x^{2} y+e^{y}\right) d x+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) d y=0)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(3x^2y + e^y),dx + (x^3 + x e^y - 2y),dy = 0
e pede para determinar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas, que exige verificar o teste de exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Denotando
M(x,y)=3x^2y + e^y, N(x,y)=x^3 + x e^y - 2y,
calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =3x^2 + e^y, partial Npartial x =3x^2 + e^y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial F(x,y), integramos M em relação a x:
F(x,y)=integrall(3x^2y + e^yr),dx = x^3y + x e^y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora impomos
partial Fpartial y = x^3 + x e^y + h'(y) stackrel!=N(x,y)=x^3 + x e^y - 2y,
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h'(y) = -2y Longrightarrow h(y) = -y^2

Passo 4

Portanto a função potencial é
F(x,y)=x^3y + x e^y - y^2,
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
F(x,y)=C

Resposta

x^3y + x e^y - y^2 = C

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