Para cada um dos seguintes funcionais lineares varphi de V, encontre um vetor u in V tal que varphi(v)= \langle v, u\rangle), para todo v in V.
varphi: R^3 R definido por varphi(x, y, z)=x+2 y-3 z;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor u em V=ℝ³ de modo que o funcional linear φ, definido por φ(x,y,z)=x+2y−3z, seja representado pelo produto interno padrão: φ(v)=⟨v,u⟩.

Passo 2

Pela definição do produto interno em ℝ³, temos $$
φ(x,y,z)=⟨(x,y,z),(u_1,u_2,u_3)\rangle = x u_1 + y u_2 + z u_3.
$$

Passo 3

Basta comparar coeficientes entre x+2y−3z e x u_1 + y u_2 + z u_3 para obter u_1=1, u_2=2 e u_3=−3, ou seja u=(1,2,−3).

Resposta

u=(1,2,−3)

Exercícios relacionados