Para cada um dos seguintes funcionais lineares
de
, encontre um vetor
tal que
\langle v, u\rangle), para todo
.
definido por
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um vetor u em V=ℝ³ de modo que o funcional linear φ, definido por φ(x,y,z)=x+2y−3z, seja representado pelo produto interno padrão: φ(v)=⟨v,u⟩.
Passo 2
Pela definição do produto interno em ℝ³, temos $$
φ(x,y,z)=⟨(x,y,z),(u_1,u_2,u_3)\rangle = x u_1 + y u_2 + z u_3.
$$
φ(x,y,z)=⟨(x,y,z),(u_1,u_2,u_3)\rangle = x u_1 + y u_2 + z u_3.
$$
Passo 3
Basta comparar coeficientes entre x+2y−3z e x u_1 + y u_2 + z u_3 para obter u_1=1, u_2=2 e u_3=−3, ou seja u=(1,2,−3).
Resposta
u=(1,2,−3)