Determine o vetor de
mais próximo de
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para achar o vetor em F que está mais próximo de u, ou seja, a projeção de u sobre o subespaço F definido por x₁+x₂−x₃−x₄=0. Vamos usar projeção ortogonal em subespaço, encontrando primeiro a componente de u na direção normal a F.
Passo 2
Para caracterizar F, note que é um hiperplano em ℝ⁴ cuja normal é n=(1,1,−1,−1), porque a equação x₁+x₂−x₃−x₄=0 pode ser escrita como n·x=0.
Passo 3
A projeção de u sobre a reta gerada por n é dada por projₙ(u)=((u·n)/(n·n))·n. Primeiro calculamos o produto interno u·n e a norma ao quadrado n·n.
Passo 4
Calculamos u·n e n·n: u·n = 0·1 + 1·1 + 0·(−1) + (−1)·(−1) = 2. E n·n = 1² + 1² + (−1)² + (−1)² = 4.
Passo 5
Logo, o escalar é (u·n)/(n·n) = 2/4 = 1/2. Então projₙ(u) = (1/2)·(1,1,−1,−1) = (1/2,1/2,−1/2,−1/2).
Passo 6
A projeção de u sobre F é u menos a parte em n, isto é proj_F(u) = u − projₙ(u). Subtraindo componente a componente, obtemos (0,1,0,−1) − (1/2,1/2,−1/2,−1/2).