Para cada uma das seguintes funções ache
(a)
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
para a função
dada por
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. - Queremos a expressão
quando tende a . - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
O que esse limite representa (aula rápida e direta): a expressão
é a razão incremental de
entre
e
. Quando fazemos
ficar muito perto de
e avaliamos o limite, estamos calculando a inclinação da reta secante que aproxima a reta tangente em
. Em termos práticos de prova: esse limite é o mesmo que a derivada de
em
, mas aqui vamos calcular diretamente pela definição usando álgebra elementar (sem assumir fórmulas prontas).
Passo 3
Substituímos
e
na expressão do limite:
Calcule
:
logo
Passo 4
Fatoramos o numerador. Observe que
é uma diferença de quadrados e satisfaz
Usando isso no numerador:
Portanto para
Aqui usamos que podemos cancelar o fator comum
porque estamos calculando um limite (não precisamos avaliar exatamente em
antes do limite).
Passo 5
Agora o limite fica simples, pois para
próximos de
(mas diferentes de
) a expressão vale
. Como
é uma função polinomial, é contínua, então podemos fazer a substituição direta
no resultado cancelado:
Passo 6
Comentário prático (atalho para provas): se você lembrar da regra geral para derivadas, a derivada de
é
, então a derivada de
é
. Avaliando em
dá
. É o mesmo resultado, só que no exame pode ser mais seguro fazer a fatoração se você tiver dúvida com regras memorizadas.\n\nVocê conseguiu! Esse limite é a inclinação da tangente em
e deu
, ou seja, a função cresce bastante ali — bom ponto para fixar.