Para cada uma das seguintes funções ache
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}
(a) f(x)=3 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}
para a função f dada por f(x)=3x^{2}.\n
Informações dadas:
  • f(x)=3x^{2}.
  • Queremos a expressão \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} quando x tende a 2.
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

O que esse limite representa (aula rápida e direta): a expressão
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}
é a razão incremental de f entre x e 2. Quando fazemos x ficar muito perto de 2 e avaliamos o limite, estamos calculando a inclinação da reta secante que aproxima a reta tangente em x=2. Em termos práticos de prova: esse limite é o mesmo que a derivada de f em 2, mas aqui vamos calcular diretamente pela definição usando álgebra elementar (sem assumir fórmulas prontas).

Passo 3

Substituímos f(x) e f(2) na expressão do limite:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{3x^{2}-3\cdot 2^{2}}{x-2}.
Calcule 3\cdot 2^{2}:
3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12,
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\frac{3x^{2}-3\cdot 2^{2}}{x-2} = \frac{3x^{2}-12}{x-2}.

Passo 4

Fatoramos o numerador. Observe que x^{2}-4 é uma diferença de quadrados e satisfaz
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Usando isso no numerador:
3x^{2}-12=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
Portanto para x\neq 2
\frac{3x^{2}-12}{x-2}=\frac{3(x-2)(x+2)}{x-2}=3(x+2).
Aqui usamos que podemos cancelar o fator comum (x-2) porque estamos calculando um limite (não precisamos avaliar exatamente em x=2 antes do limite).

Passo 5

Agora o limite fica simples, pois para x próximos de 2 (mas diferentes de 2) a expressão vale 3(x+2). Como 3(x+2) é uma função polinomial, é contínua, então podemos fazer a substituição direta x=2 no resultado cancelado:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}3(x+2)=3(2+2)=3\cdot 4=12.

Passo 6

Comentário prático (atalho para provas): se você lembrar da regra geral para derivadas, a derivada de x^{2} é 2x, então a derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2x=6x. Avaliando em x=2 6\cdot 2=12. É o mesmo resultado, só que no exame pode ser mais seguro fazer a fatoração se você tiver dúvida com regras memorizadas.\n\nVocê conseguiu! Esse limite é a inclinação da tangente em x=2 e deu 12, ou seja, a função cresce bastante ali — bom ponto para fixar.

Resposta

\,12

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