Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
em
.
Passo 1
Estamos com a função em pedaços definida em [0,1]: para irracionais f(x)=1 e para racionais x=p/q irredutível f(x)=1/q. O objetivo é decidir se f é limitada acima/abaixo e se atinge máximo ou mínimo.
Passo 2
Vejamos a limitação superior. Para todo x em [0,1] e qualquer representação p/q em forma irredutível, 1/q≤1, e para irracionais f(x)=1. Logo f(x)≤1 sempre, ou seja 1 é uma cota superior. Além disso, como existem pontos (por exemplo irracionais) em que f(x)=1, concluímos que sup=1.
Passo 3
Como f assume o valor 1 em qualquer x irracional (ou em racionais p/1 como 0/1 e 1/1), ele atinge essa cota superior. Logo f tem máximo e max=1.
Passo 4
Agora a limitação inferior. Para todo x, seja racional ou irracional, f(x)>0, pois 1/q>0 e irracionais dão f(x)=1. Assim 0 é uma cota inferior de f. Para ver que inf=0, note que existem racionais p/q com q arbitrariamente grande, fazendo 1/q tão pequeno quanto quisermos, logo o ínfimo é 0.
Passo 5
Para terminar, não existe x em [0,1] tal que f(x)=0, pois 1/q>0 e em irracionais f(x)=1. Portanto f não assume seu menor valor, ou seja não há mínimo.
Resposta
f é limitada superiormente e inferiormente; sup f=1 e f atinge esse máximo; inf f=0, mas f não assume 0, logo não há mínimo.