Para cada uma das seguintes funções, encontre o campo gradiente nabla phi
phi(x, y, z)=z ln (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo gradiente da função
phi(x,y,z)=zln(x).
Em cálculo vetorial, o gradiente de phi em R^3 é definido por
nabla phi = l(partial phipartial x,,partial phipartial y,,partial phipartial zr)
Vamos, portanto, encontrar cada derivada parcial.

Passo 2

Calcular partial phipartial x e partial phipartial y.
Como phi(x,y,z)=zln(x) depende de x apenas dentro do ln(x), temos
partial phipartial x = z cdot ddxl(ln(x)r) = z cdot 1x = zx
E como não há y em phi,
partial phipartial y = 0

Passo 3

Calcular partial phipartial z.
Aqui ln(x) é tratado como constante em relação a z, então
partial phipartial z = partialpartial zl(zln(x)r) = ln(x)

Passo 4

Agora basta agrupar as derivadas parciais no vetor gradiente:
nabla phi = l(partial phipartial x,,partial phipartial y,,partial phipartial zr) = l(zx,,0,,ln(x)r)

Resposta

nabla phi(x,y,z) = l(zx,,0,,ln(x)r)

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