Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
(d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a afirmação “A soma de duas sequências divergentes é divergente” como verdadeira ou falsa, e em caso de falsa dar um contra-exemplo. O conteúdo envolvido é comportamento de sequências reais quanto à convergência e divergência.

Passo 2

Lembrando que uma sequência (xn) é convergente se existe LinR tal que
limntoinftyxn = L,
caso contrário dizemos que (xn) é divergente (ela pode divergir para infinito, para menos infinito ou oscilar sem limite).

Passo 3

A afirmação diz que se (xn) e (yn) são divergentes então (xn + yn) também diverge. Para verificar se sempre vale, basta tentar encontrar dois exemplos de sequências divergentes cuja soma, ao contrário, convirja.

Passo 4

Considere
xn = n, yn = -n
Cada uma diverge ( xnto+infty e ynto-infty ), mas
xn + yn = n + (-n) = 0
é a sequência constante que converge para 0. Logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: xn = n e yn = -n, ambas divergentes, mas xn+yn=0 converge.

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