Para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=raizy-x
Encontre a imagem da função.

Passo 1

O enunciado pede a imagem da função \r
!fcolon DsubseteqR^2toR, f(x,y)=raizy-x \r
Aqui o conteúdo é o conceito de imagem (ou contradomínio atingido), que é \r
Im(f)=,f(x,y)mid (x,y)in D \r
Para resolver, precisamos primeiro achar o domínio D e depois ver quais valores f de fato assume.

Passo 2

A raiz quadrada raizcdot só está definida para argumentos não negativos. Logo o domínio é \r
D=(x,y)inR^2mid y-x>=0,
isto é, todos os pares (x,y) com y>= x.

Passo 3

Em qualquer ponto do domínio temos y-x>=0, então \r
f(x,y)=raizy-x>=0
Isso mostra que todos os valores de f são maiores ou iguais a zero, ou seja \r
Im(f)subseteq[0,infty)

Passo 4

Para mostrar a igualdade, tomamos um valor arbitrário t>=0 e construímos um par (x,y)in D que dá f(x,y)=t. Basta escolher qualquer xinR e definir \r
y=x+t^2,
pois então y-x=t^2>=0 (então (x,y)in D) e \r
f(x,y)=raizy-x=raizt^2=t
Assim todo tin[0,infty) está na imagem, ou seja \r
[0,infty)subseteqIm(f)

Resposta

Im(f)=[0,infty)

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