Encontre a derivada da função.
y=tg(sen x)

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função y = tan(sin x) . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas compostas, também conhecida como regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções envolvidas. Aqui temos uma função composta: a função tangente ( tan ) aplicada à função seno ( sin x ). Podemos pensar nisso como y = tan(u) , onde u = sin x .

Passo 3

Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. Ela diz que a derivada de y = tan(u) em relação a x é a derivada de tan(u) em relação a u multiplicada pela derivada de u em relação a x . Em fórmula:
dydx = dydu cdot dudx

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de tan(u) em relação a u é:
dydu = sec^2(u)
Depois, a derivada de u = sin x em relação a x é:
dudx = cos x

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
dydx = sec^2(u) cdot cos x
Lembrando que u = sin x , substituímos de volta:
dydx = sec^2(sin x) cdot cos x

Resposta

A derivada da função é dydx = sec^2(sin x) cdot cos x .

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