Para cada uma das seguintes funções encontre um intervalo que contenha um único zero , e justifique:
f(x)=\operatorname{sen}(x)-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede um intervalo que contenha exatamente uma raiz de
f(x)=\sin(x)-x^{2}.
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir ao menos uma raiz e depois mostrar que a derivada não muda de sinal nesse intervalo, garantindo unicidade.

Passo 2

Escolhemos o intervalo [0{,}8,0{,}9]. Calculamos f nas extremidades:
f(0{,}8)=\sin(0{,}8)-(0{,}8)^{2}\approx0{,}7174-0{,}64=0{,}0774>0,
f(0{,}9)=\sin(0{,}9)-(0{,}9)^{2}\approx0{,}7833-0{,}81=-0{,}0267<0.

Passo 3

Como f é contínua, f(0{,}8)>0 e f(0{,}9)<0, pelo TVI existe pelo menos um c\in(0{,}8,0{,}9) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 4

Para mostrar que essa raiz é única, examinamos a derivada:
f'(x)=\cos(x)-2x.
Em x\in[0{,}8,0{,}9] temos \cos(x)\le\cos(0{,}8)\approx0{,}6967 e 2x\ge2\cdot0{,}8=1{,}6, logo
f'(x)\le0{,}6967-1{,}6=-0{,}9033<0.
Isso mostra que f é estritamente decrescente em [0{,}8,0{,}9], de modo que só pode haver uma única raiz nesse intervalo.

Resposta

Um intervalo que contém exatamente uma raiz de f(x)=\sin(x)-x^{2} é
[0{,}8,0{,}9].

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