Para cada uma das seguintes funções encontre um intervalo que contenha um único zero , e justifique:
f(x)=\frac{x}{4}-\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede um intervalo que contenha exatamente uma raiz de
f(x)=\frac{x}{4}-\cos(x).
Para isso vamos usar dois resultados do cálculo:
  1. O Teorema do Valor Intermediário para garantir que existe pelo menos uma raiz.
  2. O fato de que, se f' não muda de sinal em um intervalo, então f é estritamente monotônica ali e a raiz é única.

Passo 2

Vamos avaliar f em dois pontos convenientes, x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}:
f(0)=\frac{0}{4}-\cos(0)=-1<0,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{\pi/2}{4}-\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{8}-0>0.
Como f(0) é negativo e f(\tfrac{\pi}{2}) é positivo, o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz em
\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 3

Para verificar a unicidade, calculemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{1}{4}+\sin(x).
No intervalo \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr], temos \sin(x)\ge0. Logo
f'(x)\ge\frac{1}{4}>0\quad\text{para todo }x\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Isto mostra que f é estritamente crescente em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 4

Sendo f contínua e mudando de sinal em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr], existe pelo menos uma raiz. Como f é estritamente crescente, não pode haver duas raízes nesse mesmo intervalo. Portanto, há exatamente uma raiz em
\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Resposta

Um intervalo que contém um único zero de f(x)=\tfrac{x}{4}-\cos(x) é
\boxed{\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]}.

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