Para cada uma das seguintes funções encontre um intervalo que contenha um único zero , e justifique:
Passo 1
O enunciado pede um intervalo que contenha exatamente uma raiz de
Para isso vamos usar dois resultados do cálculo:
- O Teorema do Valor Intermediário para garantir que existe pelo menos uma raiz.
- O fato de que, se
não muda de sinal em um intervalo, então é estritamente monotônica ali e a raiz é única.
Passo 2
Vamos avaliar
em dois pontos convenientes,
e
:
Como
é negativo e
é positivo, o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz em
Passo 3
Para verificar a unicidade, calculemos a derivada de
:
No intervalo
, temos
. Logo
Isto mostra que
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Sendo
contínua e mudando de sinal em
, existe pelo menos uma raiz. Como
é estritamente crescente, não pode haver duas raízes nesse mesmo intervalo. Portanto, há exatamente uma raiz em
Resposta
Um intervalo que contém um único zero de
é