Para cada uma das seguintes funções encontre um intervalo que contenha um único zero , e justifique:
f(x)=\log (x)+x-2

Passo 1

O enunciado pede um intervalo que contenha um único zero da função
f(x)=\log(x)+x-2,
definida em (0,\infty). Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir a existência de raiz e a derivada de f para garantir unicidade.

Passo 2

Escolhemos pontos nas extremidades do domínio:
Calculamos
f(1)=\log(1)+1-2=0+1-2=-1
e
f(2)=\log(2)+2-2=\log(2)\approx0,693>0.

Passo 3

Como f é contínua em [1,2], o TVI afirma que existe c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0,
pois f(1)<0 e f(2)>0.

Passo 4

Para mostrar que esse zero é único, observamos a derivada
f'(x)=\frac{1}{x}+1,
que é sempre positiva em (0,\infty). Logo, f é estritamente crescente e não pode ter mais de uma raiz.

Resposta

O intervalo (1,2) contém um único zero de f(x)=\log(x)+x-2.

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