Para cada uma das seguintes funções encontre um intervalo que contenha um único zero , e justifique:
f(x)=\log (x)-\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede um intervalo em que a função
f(x) = \log(x) - \sin(x)
tenha exatamente uma raiz. Aqui usamos o Teorema do Valor Intermediário (para garantir existência de zero quando mudam de sinal) e argumento de monotonia (para garantir unicidade).

Passo 2

Vamos avaliar f em dois pontos convenientemente escolhidos, por exemplo x=2 e x=3:
f(2)=\log(2)-\sin(2)\approx 0{,}6931 - 0{,}9093 = -0{,}2162 < 0,
f(3)=\log(3)-\sin(3)\approx 1{,}0986 - 0{,}1411 = 0{,}9575 > 0.
Como f(2)<0 e f(3)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (2,3).

Passo 3

Para mostrar que essa raiz é única, analisamos a derivada
f'(x) = \frac{1}{x} - \cos(x).
Note que, no intervalo [2,3], temos
2 > \frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad 3 < \pi,
logo \cos(x) < 0 em todo [2,3]. Assim,
f'(x) = \frac{1}{x} - \cos(x) > \frac{1}{x} \ge \frac{1}{3} > 0
para todo x\in[2,3]. Portanto f é estritamente crescente em [2,3].

Passo 4

Juntando os dois resultados:
  • Existe pelo menos um zero em (2,3) por mudança de sinal de f.
  • f é estritamente crescente em [2,3], o que impede mais de uma raiz.

Resposta

Um intervalo que contém exatamente um zero de f é
[2,3].

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